справитесь?
Пройдите тест чтобы узнать свой уровень
Тест рассчитан на студентов grade 10-11. После прохождения вы узнаете на сколько вопросов вы ответили правильно и получите рекомендации.
| Начать |
Вычислите:
$-2(-3)^3 + \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{20} - (2.42 + 0.24) \cdot 0.1$.
$-2(-3)^3 + \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{20} - (2.42 + 0.24) \cdot 0.1$.
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
Решите уравнение:
$$
2x^2 + 7x - 9 = 0
$$
В ответе укажите: сумму корней (если их два), $42$ (если корней нет) или единственный корень (если корень один).
$$
2x^2 + 7x - 9 = 0
$$
В ответе укажите: сумму корней (если их два), $42$ (если корней нет) или единственный корень (если корень один).
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
Сопоставьте графики и формулы функций:
1. $y = 2x+1$
2. $y = -2x-1$
3. $y = x^2-1$
4. $y = \dfrac{1}{x}-1$
1. $y = 2x+1$
2. $y = -2x-1$
3. $y = x^2-1$
4. $y = \dfrac{1}{x}-1$
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
Решите систему уравнений:
$$
\begin{cases}
x + 2A = 7,\\[1mm]
x - 4A = 1.
\end{cases}
$$
В ответе укажите значение $x^{2A}+1$.
$$
\begin{cases}
x + 2A = 7,\\[1mm]
x - 4A = 1.
\end{cases}
$$
В ответе укажите значение $x^{2A}+1$.
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
Виталий купил $1000$ акций <<Chillomath Ink>> в 2020 году по цене $47$ тугриков за штуку. Ниже представлены данные изменения цены за год:
$$
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
\textbf{Год} & 2020 & 2021 & 2022 & 2023 & 2024 & 2025\\ \hline
\textbf{Изменение цены, \%} & +30\% & -10\% & +20\% & +50\% & -20\% & +100\%\\ \hline
\end{array}
$$
Выберите тот вариант ответа, который ближе всего к точной стоимости акций.
$$
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
\textbf{Год} & 2020 & 2021 & 2022 & 2023 & 2024 & 2025\\ \hline
\textbf{Изменение цены, \%} & +30\% & -10\% & +20\% & +50\% & -20\% & +100\%\\ \hline
\end{array}
$$
Выберите тот вариант ответа, который ближе всего к точной стоимости акций.
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
Сейчас Маша на 3 года старше Даши. Через 2 года Даша будет в 2 раза младше Маши. Найдите сумму их возрастов через 10 лет.
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
Какие из утверждений верны?
1. Простых чисел бесконечно много.
2. Сумма углов пятиугольника равняется $550^\circ$.
3. Любой ромб - это параллелограмм.
4. Целых чисел от $25$ до $179$ (включительно) ровно $155$.
5. $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
1. Простых чисел бесконечно много.
2. Сумма углов пятиугольника равняется $550^\circ$.
3. Любой ромб - это параллелограмм.
4. Целых чисел от $25$ до $179$ (включительно) ровно $155$.
5. $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
С помощью формулы равноускоренного движения
$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$,
найдите координату тела через 5 секунд после начала движения, если:
$x_0=8 м,\quad v_0=2 м/с,\quad a=3 м/с^2,\quad t=5 с$.
$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$,
найдите координату тела через 5 секунд после начала движения, если:
$x_0=8 м,\quad v_0=2 м/с,\quad a=3 м/с^2,\quad t=5 с$.
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
Дерево отбрасывает тень длиной $18$ м. Угол подъёма к вершине дерева с конца тени равен $40^\circ$. Найдите высоту дерева. Выберите тот вариант ответа, который ближе всех к точной высоте дерева.
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
В классе учатся 4 человека: Маша, Саша, Даша и Лёша. Известно:
- Саша выше Маши,
- Маша выше Даши,
- Лёша не выше Маши,
- Даша не самая низкая.
Определите, кто самый высокий, а кто самый низкий.
- Саша выше Маши,
- Маша выше Даши,
- Лёша не выше Маши,
- Даша не самая низкая.
Определите, кто самый высокий, а кто самый низкий.
| Дальше |
| Проверить |
| Узнать результат |
Вы можете лучше!
Да, вы не ответили правильно ни на один из вопросов.
Рекомендуем вам плотно заняться изучением математики. Используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой для того, чтобы повысить свой уровень.
Время до экзаменов ещё есть, а значит вы можете значительно улучшить свой результат!
Обращайтесь за помощью к нашим преподавателям, все они профессионалы своего дела и с удовольствием помогут вам разобраться в основах и помочь на пути подготовки к экзаменам!
Также рекомендуем изучить решения задач из теста.
Показать решения
Рекомендуем вам плотно заняться изучением математики. Используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой для того, чтобы повысить свой уровень.
Время до экзаменов ещё есть, а значит вы можете значительно улучшить свой результат!
Обращайтесь за помощью к нашим преподавателям, все они профессионалы своего дела и с удовольствием помогут вам разобраться в основах и помочь на пути подготовки к экзаменам!
Также рекомендуем изучить решения задач из теста.
Показать решения
| Пройти заново |
Надо поднажать
Вы решили правильно несколько задач.
Рекомендуем вам плотно заняться изучением математики. Используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой для того, чтобы повысить свой уровень.
Время до экзаменов ещё есть, а значит вы можете значительно улучшить свой результат!
Обращайтесь за помощью к нашим преподавателям, все они профессионалы своего дела и с удовольствием помогут вам разобраться в основах и помочь на пути подготовки к экзаменам!
Также рекомендуем изучить решения задач из теста.
Показать решения
Рекомендуем вам плотно заняться изучением математики. Используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой для того, чтобы повысить свой уровень.
Время до экзаменов ещё есть, а значит вы можете значительно улучшить свой результат!
Обращайтесь за помощью к нашим преподавателям, все они профессионалы своего дела и с удовольствием помогут вам разобраться в основах и помочь на пути подготовки к экзаменам!
Также рекомендуем изучить решения задач из теста.
Показать решения
| Пройти заново |
Ваш результат - средний
Уже неплохо, вы хорошо постарались в тесте!
Рекомендуем вам плотно заняться изучением математики. Используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой для того, чтобы повысить свой уровень.
Время до экзаменов ещё есть, а значит вы можете значительно улучшить свой результат!
Обращайтесь за помощью к нашим преподавателям, все они профессионалы своего дела и с удовольствием помогут вам разобраться в основах и помочь на пути подготовки к экзаменам!
Также рекомендуем изучить решения задач из теста.
Показать решения
Рекомендуем вам плотно заняться изучением математики. Используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой для того, чтобы повысить свой уровень.
Время до экзаменов ещё есть, а значит вы можете значительно улучшить свой результат!
Обращайтесь за помощью к нашим преподавателям, все они профессионалы своего дела и с удовольствием помогут вам разобраться в основах и помочь на пути подготовки к экзаменам!
Также рекомендуем изучить решения задач из теста.
Показать решения
| Пройти заново |
Ого, а вы хороши!
Вы ответили правильно на большинство вопросов, это круто!
Чтобы ещё лучше прокачаться в математике - используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой для того, чтобы повысить свой уровень.
Обращайтесь за помощью к нашим преподавателям, все они профессионалы своего дела и с удовольствием помогут вам разобраться в основах и помочь на пути подготовки к экзаменам!
Также рекомендуем изучить решения задач из теста.
Показать решения
Чтобы ещё лучше прокачаться в математике - используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой для того, чтобы повысить свой уровень.
Обращайтесь за помощью к нашим преподавателям, все они профессионалы своего дела и с удовольствием помогут вам разобраться в основах и помочь на пути подготовки к экзаменам!
Также рекомендуем изучить решения задач из теста.
Показать решения
| Пройти заново |
Отлично!
Вы ответили правильно почти на все вопросы в тесте!
Вы отлично разбираетесь в математике и хорошо справляетесь с программой.
Повышайте свой уровень дальше! Используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой.
Keep going как говорится)
Показать решения
Вы отлично разбираетесь в математике и хорошо справляетесь с программой.
Повышайте свой уровень дальше! Используйте наш сайт, наши уроки, наш ютуб канал, а также воспользуйтесь нашей чиллотекой.
Keep going как говорится)
Показать решения
| Пройти заново |
Вы гений!
| Пройти заново |
Задача 1.
Вычислите:
$-2(-3)^3 + \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{20} - (2.42 + 0.24) \cdot 0.1$.
Варианты ответов:
1. $54.500$
2. $53.234$
3. $54.234$
4. $54.000$
Сначала определите порядок действий и аккуратно вычислите
Решение:
1. Вычисляем сначала первое слагаемое:
$(-3)^3 = -27 \quad \Longrightarrow \quad -2 \cdot (-27)=54$.
2. Вычисляем второе слагаемое с дробями:
$\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{20} = \frac{4\cdot 5\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 20} = \frac{60}{120} = 0.5$.
3. Последнее слагаемое:
$2.42+0.24=2.66 \quad \Longrightarrow \quad 2.66\cdot0.1 = 0.266$.
4. Суммируем:
$54 + 0.5 - 0.266 = 54.234$.
Ответ: $54.234$
Задача 2.
Решите уравнение:
$$
2x^2 + 7x - 9 = 0
$$
В ответе укажите: сумму корней (если их два), $42$ (если корней нет) или единственный корень (если корень один).
Варианты ответов:
1. $-\frac{7}{2}$.
2. $\frac{3}{2}$.
3. $-\frac{5}{2}$
4. $-1$
Воспользуйтесь формулой для дискриминанта квадратного уравнения $D = b^2-4ac$ и определите количество корней уравнения. Затем, если будет нужно найдите их по формуле для корней $$x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt D}{2a}$$ или воспользуйтесь теоремой Виета.
Решение:
1. Вычисляем дискриминант:
$$
D = 7^2 - 4\cdot2\cdot(-9)=49+72=121
$$.
2. Так как $D>0$, уравнение имеет два корня, и по теореме Виета сумма корней равна:
$$
x_1+x_2=-\frac{7}{2}
$$.
Задача 3.
Сопоставьте графики и формулы функций:
1. $y = 2x+1$
2. $y = -2x-1$
3. $y = x^2-1$
4. $y = \dfrac{1}{x}-1$
1. $y = 2x+1$ - это линейная функция
2. $y = -2x-1$ - тоже линейная
3. $y = x^2-1$ - квадратичная функция
4. $y = \dfrac{1}{x}-1$ - дробная функция
Варианты ответов:
1. 1→C, 2→A, 3→D, 4→B
2. 1→A, 2→C, 3→B, 4→D
3. 1→B, 2→D, 3→A, 4→C
4. 1→B, 2→A, 3→C, 4→D
Решение:
Предположим, что графики обозначены буквами A, B, C, D следующим образом:
1. График A - парабола, то есть функция $y=x^2-1$.
2. График B - линейная функция с положительным наклоном, то есть $y=2x+1$.
3. График D - линейная функция с отрицательным наклоном, то есть $y=-2x-1$.
4. График C - гипербола, то есть функция $y=\dfrac{1}{x}-1$.
{Ответ:} 1 --- график B, 2 --- график D, 3 --- график A, 4 --- график C.
Задача 4.
Решите систему уравнений:
$$
\begin{cases}
x + 2A = 7,\\[1mm]
x - 4A = 1.
\end{cases}
$$
В ответе укажите значение $x^{2A}+1$.
Варианты ответов:
1. $25$
2. $26$
3. $28$
4. $27$
Выразите какую-нибудь переменную из любого уравнения. Например $x$ из первого или второго уравнения. И затем подставьте в другое уравнение. Можно также попробовать решить путем сложения или вычитания уравнений друг из друга.
Решение:
1. Вычтем второе уравнение из первого:
$$
(x+2A)-(x-4A)=7-1 \quad\Longrightarrow\quad 6A=6,
$$
откуда $A=1$.
2. Подставляем $A=1$ во второе уравнение:
$$
x-4\cdot1=1 \quad\Longrightarrow\quad x=5.
$$
3. Вычисляем $x^{2A}+1$:
$$
x^{2A}+1 = 5^{2\cdot1}+1=5^2+1=25+1=26.
$$
{Ответ:} $26$.
Задача 5.
Виталий купил $1000$ акций <<Chillomath Ink>> в 2020 году по цене $47$ тугриков за штуку. Ниже представлены данные изменения цены за год:
$$
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
\textbf{Год} & 2020 & 2021 & 2022 & 2023 & 2024 & 2025\\ \hline
\textbf{Изменение цены, \%} & +30\% & -10\% & +20\% & +50\% & -20\% & +100\%\\ \hline
\end{array}
$$
Выберите тот вариант ответа, который ближе всего к точной стоимости акций.
Варианты ответов:
1. $158400$ тугриков
2. $159000$ тугриков
3. $158000$ тугриков
4. $157200$ тугриков
Рассчитайте стоимость акций в конце каждого года последовательно.
Решение:
Рассчитаем стоимость акции в конце каждого года:
$
P_{2020} = 47\cdot1.30 = 61.1
$
$
P_{2021} = 61.1\cdot0.90 \approx 54.99
$
$
P_{2022} = 54.99\cdot1.20 \approx 65.988
$
$
P_{2023} = 65.988\cdot1.50 \approx 98.982
$
$
P_{2024} = 98.982\cdot0.80 \approx 79.1856
$
$
P_{2025} = 79.1856\cdot2.00 \approx 158.3712
$
Общая стоимость портфеля:
$1000\cdot158.3712\approx158371.2$ тугриков.
Ответ:
Примерно $158371.2$ тугриков, что ближе к $158400$.
Задача 6.
Сейчас Маша на 3 года старше Даши. Через 2 года Даша будет в 2 раза младше Маши. Найдите сумму их возрастов через 10 лет.
Варианты ответов:
1. $23$.
2. $24$
3. $25$
4. $26$
Как вариант можно обозначить возраст Даши или Маши какой-нибудь буквой и составить уравнения.
Решение:
1. Пусть текущий возраст Даши равен $d$. Тогда возраст Маши равен $d+3$.
2. Через 2 года:
Даша: $d+2,\quad$ Маша: $d+5$.
По условию:
$d+2 = \frac{d+5}{2}$.
3. Умножим обе части на $2$:
$2d+4 = d+5 \quad\Longrightarrow\quad d=1$.
4. Таким образом, сейчас Даше 1 год, а Маше 4 года.
5. Через 10 лет:
Даша: $1+10=11,\quad$ Маша: $4+10=14$.
6. Сумма возрастов:
$11+14=25$.
Ответ:
$25$.
Задача 7.
Какие из утверждений верны?
1. Простых чисел бесконечно много.
2. Сумма углов пятиугольника равняется $550^\circ$.
3. Любой ромб - это параллелограмм.
4. Целых чисел от $25$ до $179$ (включительно) ровно $155$.
5. $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Варианты ответов:
1. 1, 2 и 3
2. 1, 3 и 4
3. 2, 3 и 5
4. 3, 4 и 5
На всякий случай лучше проверить как раскрываются скобки. А также сколько чисел, например между $3$ и $10$, чтобы не потерять ничего.
Решение:
1. Утверждение 1 - верно (Евклид доказал бесконечность простых чисел).
2. Утверждение 2 - неверно, так как сумма углов пятиугольника равна:
$(5-2)\cdot180^\circ = 540^\circ$.
3. Утверждение 3 - верно, любой ромб является параллелограммом.
4. Утверждение 4 - верно, поскольку:
$179-25+1=155$.
5. Утверждение 5 - неверно, так как:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ:
Верны утверждения 1, 3 и 4.
Задача 8.
С помощью формулы равноускоренного движения
$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$,
найдите координату тела через 5 секунд после начала движения, если:
$x_0=8 м,\quad v_0=2 м/с,\quad a=3 м/с^2,\quad t=5 с$.
Варианты ответов:
1. 52,5 м
2. 60,5 м
3. 50,5 м
4. 55,5 м
Аккуратно подставьте значения данных величин в формулу.
Решение:
Подставляем значения:
$x=8+2\cdot5+\frac{1}{2}\cdot3\cdot5^2=8+10+37.5=55.5\ м$.
Ответ:
$55.5$ м.
Задача 9. С калькулятором
Дерево отбрасывает тень длиной $18$ м. Угол подъёма к вершине дерева с конца тени равен $40^\circ$. Найдите высоту дерева. Выберите тот вариант ответа, который ближе всех к точной высоте дерева.
Варианты ответов:
1. $15.1$ м
2. $15$ м
3. $15.5$ м
4. $14.9$ м
Воспользуйтесь тригонометрией: тангенсом, синусом или косинусом.
Решение:
$\tan(40^\circ)=\frac{h}{18}\quad \Longrightarrow \quad h=18\cdot\tan(40^\circ)$.
Приблизительно, $\tan(40^\circ) \approx 0.8391$, поэтому:
$h\approx18\cdot0.8391\approx15.10$ м.
Ответ:
Около $15.10$ м.
Задача 10.
В классе учатся 4 человека: Маша, Саша, Даша и Лёша. Известно:
- Саша выше Маши,
- Маша выше Даши,
- Лёша не выше Маши,
- Даша не самая низкая.
Определите, кто самый высокий, а кто самый низкий.
Варианты ответов:
1. Самый высокий - Саша, самый низкий - Лёша.
2. Самый высокий - Маша, самая низкая - Даша.
3. Самый высокий - Саша, самая низкая - Даша.
4. Самый высокий - Маша, самый низкий - Лёша.
Сначала расставьте ребят так, чтобы было выполнено первое условие, затем дополните картину вторым условием.
Решение:
1. Из условия «Саша выше Маши» получаем: Саша > Маша.
2. Из условия «Маша выше Даши» имеем: Маша > Даша.
3. Условие «Лёша не выше Маши» даёт: Лёша < Маша.
4. Условие «Даша не самая низкая» означает, что существует хотя бы один ученик, чей рост меньше, чем у Даши.
Из этих соотношений видно, что:
- Поскольку и Саша, и Маша выше Даши, Даша не может быть самой высокой.
- Если бы Лёша был выше Даши, то, учитывая, что Лёша не выше Маши, он мог бы оказаться ниже Маши или Саши, но условие «Даша не самая низкая» подразумевает, что кто-то должен быть ниже Даши. Таким образом, наиболее логично, что самый низкий ученик - Лёша.
- Самым высоким при этом оказывается Саша, так как по условию он выше Маши, а Маша, в свою очередь, выше Даши.
Ответ:
Самый высокий - Саша, самый низкий - Лёша.
Вычислите:
$-2(-3)^3 + \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{20} - (2.42 + 0.24) \cdot 0.1$.
Варианты ответов:
1. $54.500$
2. $53.234$
3. $54.234$
4. $54.000$
Сначала определите порядок действий и аккуратно вычислите
Решение:
1. Вычисляем сначала первое слагаемое:
$(-3)^3 = -27 \quad \Longrightarrow \quad -2 \cdot (-27)=54$.
2. Вычисляем второе слагаемое с дробями:
$\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{20} = \frac{4\cdot 5\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 20} = \frac{60}{120} = 0.5$.
3. Последнее слагаемое:
$2.42+0.24=2.66 \quad \Longrightarrow \quad 2.66\cdot0.1 = 0.266$.
4. Суммируем:
$54 + 0.5 - 0.266 = 54.234$.
Ответ: $54.234$
Задача 2.
Решите уравнение:
$$
2x^2 + 7x - 9 = 0
$$
В ответе укажите: сумму корней (если их два), $42$ (если корней нет) или единственный корень (если корень один).
Варианты ответов:
1. $-\frac{7}{2}$.
2. $\frac{3}{2}$.
3. $-\frac{5}{2}$
4. $-1$
Воспользуйтесь формулой для дискриминанта квадратного уравнения $D = b^2-4ac$ и определите количество корней уравнения. Затем, если будет нужно найдите их по формуле для корней $$x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt D}{2a}$$ или воспользуйтесь теоремой Виета.
Решение:
1. Вычисляем дискриминант:
$$
D = 7^2 - 4\cdot2\cdot(-9)=49+72=121
$$.
2. Так как $D>0$, уравнение имеет два корня, и по теореме Виета сумма корней равна:
$$
x_1+x_2=-\frac{7}{2}
$$.
Задача 3.
Сопоставьте графики и формулы функций:
1. $y = 2x+1$
2. $y = -2x-1$
3. $y = x^2-1$
4. $y = \dfrac{1}{x}-1$
1. $y = 2x+1$ - это линейная функция
2. $y = -2x-1$ - тоже линейная
3. $y = x^2-1$ - квадратичная функция
4. $y = \dfrac{1}{x}-1$ - дробная функция
Варианты ответов:
1. 1→C, 2→A, 3→D, 4→B
2. 1→A, 2→C, 3→B, 4→D
3. 1→B, 2→D, 3→A, 4→C
4. 1→B, 2→A, 3→C, 4→D
Решение:
Предположим, что графики обозначены буквами A, B, C, D следующим образом:
1. График A - парабола, то есть функция $y=x^2-1$.
2. График B - линейная функция с положительным наклоном, то есть $y=2x+1$.
3. График D - линейная функция с отрицательным наклоном, то есть $y=-2x-1$.
4. График C - гипербола, то есть функция $y=\dfrac{1}{x}-1$.
{Ответ:} 1 --- график B, 2 --- график D, 3 --- график A, 4 --- график C.
Задача 4.
Решите систему уравнений:
$$
\begin{cases}
x + 2A = 7,\\[1mm]
x - 4A = 1.
\end{cases}
$$
В ответе укажите значение $x^{2A}+1$.
Варианты ответов:
1. $25$
2. $26$
3. $28$
4. $27$
Выразите какую-нибудь переменную из любого уравнения. Например $x$ из первого или второго уравнения. И затем подставьте в другое уравнение. Можно также попробовать решить путем сложения или вычитания уравнений друг из друга.
Решение:
1. Вычтем второе уравнение из первого:
$$
(x+2A)-(x-4A)=7-1 \quad\Longrightarrow\quad 6A=6,
$$
откуда $A=1$.
2. Подставляем $A=1$ во второе уравнение:
$$
x-4\cdot1=1 \quad\Longrightarrow\quad x=5.
$$
3. Вычисляем $x^{2A}+1$:
$$
x^{2A}+1 = 5^{2\cdot1}+1=5^2+1=25+1=26.
$$
{Ответ:} $26$.
Задача 5.
Виталий купил $1000$ акций <<Chillomath Ink>> в 2020 году по цене $47$ тугриков за штуку. Ниже представлены данные изменения цены за год:
$$
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
\textbf{Год} & 2020 & 2021 & 2022 & 2023 & 2024 & 2025\\ \hline
\textbf{Изменение цены, \%} & +30\% & -10\% & +20\% & +50\% & -20\% & +100\%\\ \hline
\end{array}
$$
Выберите тот вариант ответа, который ближе всего к точной стоимости акций.
Варианты ответов:
1. $158400$ тугриков
2. $159000$ тугриков
3. $158000$ тугриков
4. $157200$ тугриков
Рассчитайте стоимость акций в конце каждого года последовательно.
Решение:
Рассчитаем стоимость акции в конце каждого года:
$
P_{2020} = 47\cdot1.30 = 61.1
$
$
P_{2021} = 61.1\cdot0.90 \approx 54.99
$
$
P_{2022} = 54.99\cdot1.20 \approx 65.988
$
$
P_{2023} = 65.988\cdot1.50 \approx 98.982
$
$
P_{2024} = 98.982\cdot0.80 \approx 79.1856
$
$
P_{2025} = 79.1856\cdot2.00 \approx 158.3712
$
Общая стоимость портфеля:
$1000\cdot158.3712\approx158371.2$ тугриков.
Ответ:
Примерно $158371.2$ тугриков, что ближе к $158400$.
Задача 6.
Сейчас Маша на 3 года старше Даши. Через 2 года Даша будет в 2 раза младше Маши. Найдите сумму их возрастов через 10 лет.
Варианты ответов:
1. $23$.
2. $24$
3. $25$
4. $26$
Как вариант можно обозначить возраст Даши или Маши какой-нибудь буквой и составить уравнения.
Решение:
1. Пусть текущий возраст Даши равен $d$. Тогда возраст Маши равен $d+3$.
2. Через 2 года:
Даша: $d+2,\quad$ Маша: $d+5$.
По условию:
$d+2 = \frac{d+5}{2}$.
3. Умножим обе части на $2$:
$2d+4 = d+5 \quad\Longrightarrow\quad d=1$.
4. Таким образом, сейчас Даше 1 год, а Маше 4 года.
5. Через 10 лет:
Даша: $1+10=11,\quad$ Маша: $4+10=14$.
6. Сумма возрастов:
$11+14=25$.
Ответ:
$25$.
Задача 7.
Какие из утверждений верны?
1. Простых чисел бесконечно много.
2. Сумма углов пятиугольника равняется $550^\circ$.
3. Любой ромб - это параллелограмм.
4. Целых чисел от $25$ до $179$ (включительно) ровно $155$.
5. $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Варианты ответов:
1. 1, 2 и 3
2. 1, 3 и 4
3. 2, 3 и 5
4. 3, 4 и 5
На всякий случай лучше проверить как раскрываются скобки. А также сколько чисел, например между $3$ и $10$, чтобы не потерять ничего.
Решение:
1. Утверждение 1 - верно (Евклид доказал бесконечность простых чисел).
2. Утверждение 2 - неверно, так как сумма углов пятиугольника равна:
$(5-2)\cdot180^\circ = 540^\circ$.
3. Утверждение 3 - верно, любой ромб является параллелограммом.
4. Утверждение 4 - верно, поскольку:
$179-25+1=155$.
5. Утверждение 5 - неверно, так как:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ:
Верны утверждения 1, 3 и 4.
Задача 8.
С помощью формулы равноускоренного движения
$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$,
найдите координату тела через 5 секунд после начала движения, если:
$x_0=8 м,\quad v_0=2 м/с,\quad a=3 м/с^2,\quad t=5 с$.
Варианты ответов:
1. 52,5 м
2. 60,5 м
3. 50,5 м
4. 55,5 м
Аккуратно подставьте значения данных величин в формулу.
Решение:
Подставляем значения:
$x=8+2\cdot5+\frac{1}{2}\cdot3\cdot5^2=8+10+37.5=55.5\ м$.
Ответ:
$55.5$ м.
Задача 9. С калькулятором
Дерево отбрасывает тень длиной $18$ м. Угол подъёма к вершине дерева с конца тени равен $40^\circ$. Найдите высоту дерева. Выберите тот вариант ответа, который ближе всех к точной высоте дерева.
Варианты ответов:
1. $15.1$ м
2. $15$ м
3. $15.5$ м
4. $14.9$ м
Воспользуйтесь тригонометрией: тангенсом, синусом или косинусом.
Решение:
$\tan(40^\circ)=\frac{h}{18}\quad \Longrightarrow \quad h=18\cdot\tan(40^\circ)$.
Приблизительно, $\tan(40^\circ) \approx 0.8391$, поэтому:
$h\approx18\cdot0.8391\approx15.10$ м.
Ответ:
Около $15.10$ м.
Задача 10.
В классе учатся 4 человека: Маша, Саша, Даша и Лёша. Известно:
- Саша выше Маши,
- Маша выше Даши,
- Лёша не выше Маши,
- Даша не самая низкая.
Определите, кто самый высокий, а кто самый низкий.
Варианты ответов:
1. Самый высокий - Саша, самый низкий - Лёша.
2. Самый высокий - Маша, самая низкая - Даша.
3. Самый высокий - Саша, самая низкая - Даша.
4. Самый высокий - Маша, самый низкий - Лёша.
Сначала расставьте ребят так, чтобы было выполнено первое условие, затем дополните картину вторым условием.
Решение:
1. Из условия «Саша выше Маши» получаем: Саша > Маша.
2. Из условия «Маша выше Даши» имеем: Маша > Даша.
3. Условие «Лёша не выше Маши» даёт: Лёша < Маша.
4. Условие «Даша не самая низкая» означает, что существует хотя бы один ученик, чей рост меньше, чем у Даши.
Из этих соотношений видно, что:
- Поскольку и Саша, и Маша выше Даши, Даша не может быть самой высокой.
- Если бы Лёша был выше Даши, то, учитывая, что Лёша не выше Маши, он мог бы оказаться ниже Маши или Саши, но условие «Даша не самая низкая» подразумевает, что кто-то должен быть ниже Даши. Таким образом, наиболее логично, что самый низкий ученик - Лёша.
- Самым высоким при этом оказывается Саша, так как по условию он выше Маши, а Маша, в свою очередь, выше Даши.
Ответ:
Самый высокий - Саша, самый низкий - Лёша.