Работа со скобками
Навигация
Аннотация
В этом уроĸе мы подробно рассмотрим следующие темы:
Эти темы помогут вам лучше понять струĸтуру алгебраичесĸих выражений и научат правильно преобразовывать и упрощать их.
- В этом уроĸе мы подробно рассмотрим следующие темы:
- Что таĸое сĸобĸи и зачем они нужны.
- Правила расĸрытия сĸобоĸ.
- Работа с несĸольĸими сĸобĸами и правило «фонтанчиĸа».
- Процесс выноса за сĸобĸи и приведение подобных слагаемых.
- Формулы соĸращённого умножения (ФСУ) и их применение.
Эти темы помогут вам лучше понять струĸтуру алгебраичесĸих выражений и научат правильно преобразовывать и упрощать их.
Перед началом урока
Learning Objectives (Цели урока)
После прохождения урока вы сможете:
После прохождения урока вы сможете:
- Определять порядок выполнения операций в выражениях со скобками.
- Раскрывать скобки с учетом знаков операций.
- Применять правило умножения скобок (правило «фонтанчика»).
- Выполнять операцию выноса за скобки и приводить подобные слагаемые.
- Применять формулы сокращённого умножения для упрощения выражений.
Quiz перед уроком
Вопросы и задачи
Ответ $7x$
Ответ $4$
Ответ $6 - 10 + 1 = -3$
Ответ $x^2$
Введение
Задумывались ли вы, почему в математике так важно соблюдать определённый порядок действий? Или как запись выражения в скобках помогает упорядочить вычисления и избежать ошибок?
В повседневной жизни мы часто группируем предметы или действия для удобства расчётов. В алгебре скобки выполняют похожую роль: они позволяют рассматривать несколько частей выражения как единое целое и чётко задают порядок выполнения операций.
В этом уроке мы разберёмся, как работать со скобками в алгебраических выражениях. Начнём с простых примеров и наглядных ситуаций, поясняющих смысл скобок, а затем шаг за шагом перейдём к более сложным приёмам.
Мы научимся раскрывать скобки и приводить выражения к упрощённому виду, познакомимся с важными формулами (формулами сокращённого умножения), которые позволяют быстро раскрывать или сворачивать скобки.
В повседневной жизни мы часто группируем предметы или действия для удобства расчётов. В алгебре скобки выполняют похожую роль: они позволяют рассматривать несколько частей выражения как единое целое и чётко задают порядок выполнения операций.
В этом уроке мы разберёмся, как работать со скобками в алгебраических выражениях. Начнём с простых примеров и наглядных ситуаций, поясняющих смысл скобок, а затем шаг за шагом перейдём к более сложным приёмам.
Мы научимся раскрывать скобки и приводить выражения к упрощённому виду, познакомимся с важными формулами (формулами сокращённого умножения), которые позволяют быстро раскрывать или сворачивать скобки.
- Простые скобки
Что такое скобки и для чего они нужны? Скобки можно определить разными способами, например:
Опр 1. Скобки - это математическая конструкция, которая указывает, в каком порядке следует выполнять операции в выражении, чтобы получить правильный результат.
Опр 2.
Скобки - это математическая конструкция, которая указывает, в каком порядке следует выполнять операции в выражении, чтобы получить правильный результат.
Скобки - это математическая конструкция, которая объединяет несколько элементов в одно целое.
Первое определение отражает известную роль скобок: они задают порядок действий (то, что внутри скобок, вычисляется прежде остального).
Второе, более общее определение, подразумевает, что скобки позволяют группировать выражения.
Скобки - это математическая конструкция, которая указывает, в каком порядке следует выполнять операции в выражении, чтобы получить правильный результат.
Скобки - это математическая конструкция, которая объединяет несколько элементов в одно целое.
Первое определение отражает известную роль скобок: они задают порядок действий (то, что внутри скобок, вычисляется прежде остального).
Второе, более общее определение, подразумевает, что скобки позволяют группировать выражения.
Давайте поясним, что это значит, на конкретном примере.
Представьте два мешка с картофелем. В первом мешке содержится $x$ картофелин, а во втором $5$. Если нам нужно удвоить общее количество картофеля, можно:
1. Переложить $5$ картофелин из второго мешка в первый, получив выражение $x + 5$, затем применить удвоение ко всей сумме: $2 \cdot (x + 5)$.
2. Либо удвоить количество в каждом мешке по отдельности: $2 \cdot x + 2 \cdot 5$.
Таким образом, получаем равенство:$$
2(x + 5) = 2 \cdot x + 2 \cdot 5
$$
Представьте два мешка с картофелем. В первом мешке содержится $x$ картофелин, а во втором $5$. Если нам нужно удвоить общее количество картофеля, можно:
1. Переложить $5$ картофелин из второго мешка в первый, получив выражение $x + 5$, затем применить удвоение ко всей сумме: $2 \cdot (x + 5)$.
2. Либо удвоить количество в каждом мешке по отдельности: $2 \cdot x + 2 \cdot 5$.
Таким образом, получаем равенство:$$
2(x + 5) = 2 \cdot x + 2 \cdot 5
$$
Пример 1.1
Так как $3$ умножается на скобки, то мы должны умножить $3$ на каждое слагаемое в скобках
$3\cdot 9x - 3\cdot4 = 27x - 12$
$3\cdot 9x - 3\cdot4 = 27x - 12$
Пример 1.2
$-(x-5) = -x - (-5) = -x + 5$
Мини приложение: Попробуйте записать любые числа в поля и посмотрите что получится.
Попробуйте сами
$2(x+3) = 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 2x + 6$
$5(7x-9) = 5 \cdot 7x - 5 \cdot 9 = 35x - 45$
$3 + 5(4x + 2) = 3 + 5 \cdot 4x + 5 \cdot 2 = 3 + 20x + 10 = 20x + 13$
$25 − (3x + 3) = 25 − 3x − 3 = 22 − 3x$
$−7(x − 3) + 2(x − 2) =$
$−7x + 7 \cdot 3 + 2x − 2 \cdot 2$
$= −7x + 21 + 2x − 4$
$= −5x + 17$
$−7x + 7 \cdot 3 + 2x − 2 \cdot 2$
$= −7x + 21 + 2x − 4$
$= −5x + 17$
2. Работа с нескольким скобками. Правило "фонтанчика"
Когда выражение содержит умножение двух или более скобок, каждое слагаемое из первой скобки умножается на каждое слагаемое из второй.
Пример:
Рассмотрим выражение $(2x + 3)(5x + 4)$
Пусть мы обозначим первую скобку как «огурец». Тогда раскроем как мы делали это раньше:
$$
(\text{огурец}) \cdot (5x + 4) = (\text{огурец}) \cdot 5x + (\text{огурец}) \cdot 4
$$
Подставляя вместо огурца изначальную скобку обратно, получаем:
$$
\begin{align*}
(2x + 3)(5x + 4) &= \\
&= (2x + 3) \cdot 5x + (2x + 3) \cdot 4 \\
&= 2x \cdot 5x + 3 \cdot 5x + 2x \cdot 4 + 3 \cdot 4\\
\end{align*}
$$
Таким образом можно заметить, что мы умножили каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй скобки.
Рассмотрим выражение $(2x + 3)(5x + 4)$
Пусть мы обозначим первую скобку как «огурец». Тогда раскроем как мы делали это раньше:
$$
(\text{огурец}) \cdot (5x + 4) = (\text{огурец}) \cdot 5x + (\text{огурец}) \cdot 4
$$
Подставляя вместо огурца изначальную скобку обратно, получаем:
$$
\begin{align*}
(2x + 3)(5x + 4) &= \\
&= (2x + 3) \cdot 5x + (2x + 3) \cdot 4 \\
&= 2x \cdot 5x + 3 \cdot 5x + 2x \cdot 4 + 3 \cdot 4\\
\end{align*}
$$
Таким образом можно заметить, что мы умножили каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй скобки.
Пример 2.1
$(x+3)(2x-5) =$
$= x \cdot 2x + x \cdot (-5) + 3 \cdot 2x + 3 \cdot (-5)$
$= 2x^2 - 5x + 6x - 15$
Заметьте, что знак "$-$" перед $5$ является частью этого числа, поэтому мы умножаем на $(-5)$
$= x \cdot 2x + x \cdot (-5) + 3 \cdot 2x + 3 \cdot (-5)$
$= 2x^2 - 5x + 6x - 15$
Заметьте, что знак "$-$" перед $5$ является частью этого числа, поэтому мы умножаем на $(-5)$
Пример 2.2
$(-2x+7)(x-9) =$
$= (-2x) \cdot x + (-2x) \cdot (-9) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-9)$
$= -2x^2 +18x + 7x - 63$
Если испытываете трудности при работе со степенями, то изучите этот урок (ссылка на урок по степеням).
$= (-2x) \cdot x + (-2x) \cdot (-9) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-9)$
$= -2x^2 +18x + 7x - 63$
Если испытываете трудности при работе со степенями, то изучите этот урок (ссылка на урок по степеням).
Попробуйте сами
Ключевые моменты
При умножении. Раскрытие скобок означает умножение каждого слагаемого внутри скобок на число или выражение перед ними.
При наличии знака минус перед скобкой. Минус распространяется на каждое слагаемое внутри скобок.
При наличии знака минус перед скобкой. Минус распространяется на каждое слагаемое внутри скобок.
$(2x + 1)(3x + 4) =$
$= 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4 + 1 \cdot 3x + 1 \cdot 4$
$= 6x^2 + 8x + 3x + 4$
$= 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4 + 1 \cdot 3x + 1 \cdot 4$
$= 6x^2 + 8x + 3x + 4$
$(1 − x)(1 + x) =$
$= 11 + 1 \cdot x − x \cdot 1 − x \cdot x$
$= 1 + x − x − x^2 = 1 − x^2$
$= 11 + 1 \cdot x − x \cdot 1 − x \cdot x$
$= 1 + x − x − x^2 = 1 − x^2$
$3(12 + x)(2x + 3) =$
$= 3(12 \cdot 2x + 12 \cdot 3 + x \cdot 2x + x \cdot 3) =$
$= 3(24x + 36 + 2x^2 + 3x) = 3(2x^2 + 24x + 3x + 36) =$
$= 6x^2 + 72x + 9x + 108$.
$= 3(12 \cdot 2x + 12 \cdot 3 + x \cdot 2x + x \cdot 3) =$
$= 3(24x + 36 + 2x^2 + 3x) = 3(2x^2 + 24x + 3x + 36) =$
$= 6x^2 + 72x + 9x + 108$.
$(2x + 1 + y)(x − y) =$
$= 2x \cdot (x − y) + 1 \cdot (x − y) + y \cdot (x − y)$
$= (2x^2 − 2xy) + (x − y) + (xy − y^2)$
$= 2x^2 − 2xy + x − y + xy − y^2$
$= 2x \cdot (x − y) + 1 \cdot (x − y) + y \cdot (x − y)$
$= (2x^2 − 2xy) + (x − y) + (xy − y^2)$
$= 2x^2 − 2xy + x − y + xy − y^2$
Если же у вас имеется выражение, в котором умножаются три и более скобок, то необходимо умножить скобки последовательно. Сначала первые две, например, затем получившийся результат на третью скобку.
Пример 2.3.
$(x+1)(x+2)(x+3) =$
$= (x^2 + 2x + x + 2)(x+3)$
$= x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x + x^2 + 3x + 2x + 6.$
$= (x^2 + 2x + x + 2)(x+3)$
$= x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x + x^2 + 3x + 2x + 6.$
Попробуйте сами
$(x+1)(x+2)(x+3) =$
$= (x^2 + 2x + x + 2)(x+3)$
$= x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x + x^2 + 3x + 2x + 6.$
$= (x^2 + 2x + x + 2)(x+3)$
$= x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x + x^2 + 3x + 2x + 6.$
$(x-1)(x+1)(x+2) =$
$= (x^2 + x - x - 1)(x+2)$
$= (x^2 - 1)(x+2)$
$= x^3 + 2x^2 - x - 2$
$= (x^2 + x - x - 1)(x+2)$
$= (x^2 - 1)(x+2)$
$= x^3 + 2x^2 - x - 2$
$x(x+3)(x-2) =$
$= (x^2 + 3x)(x - 2)$
$= x^3 -2x^2 + 3x^2 - 6x$
$= (x^2 + 3x)(x - 2)$
$= x^3 -2x^2 + 3x^2 - 6x$
3. Вынос за скобки и приведение подобных слагаемых
Опр 3. Вынос за скобки - это обратная операция к раскрытию скобок. Для этого необходимо найти общий множитель, который присутствует во всех слагаемых.
$(x-1)(x+1)(x+2) =$
$= (x^2 + x - x - 1)(x+2)$
$= (x^2 - 1)(x+2)$
$= x^3 + 2x^2 - x - 2$
$= (x^2 + x - x - 1)(x+2)$
$= (x^2 - 1)(x+2)$
$= x^3 + 2x^2 - x - 2$
$x(x+3)(x-2) =$
$= (x^2 + 3x)(x - 2)$
$= x^3 -2x^2 + 3x^2 - 6x$
$= (x^2 + 3x)(x - 2)$
$= x^3 -2x^2 + 3x^2 - 6x$
Опр 4. Приведение подобных слагаемых подразумевает группировку членов с одинаковыми степенями и дальнейшее их сложение или вычитание
По сути, вынос общего множителя и приведение подобных слагаемых - это один и тот же приём, просто используемый в разных ситуациях:
если цель - упростить выражение до компактного многочлена, говорят о приведении подобных слагаемых,
а если нужно разложить выражение на множители, подчёркивая его структуру, говорят о выносе за скобки.
Вынос общего множителя. Чтобы «собрать» выражение в скобки, нужно найти часть, которая повторяется в каждом слагаемом, то есть общий множитель этих слагаемых.
По сути, вынос общего множителя и приведение подобных слагаемых - это один и тот же приём, просто используемый в разных ситуациях:
если цель - упростить выражение до компактного многочлена, говорят о приведении подобных слагаемых,
а если нужно разложить выражение на множители, подчёркивая его структуру, говорят о выносе за скобки.
Вынос общего множителя. Чтобы «собрать» выражение в скобки, нужно найти часть, которая повторяется в каждом слагаемом, то есть общий множитель этих слагаемых.
Опр 5. Общий множитель нескольких слагаемых - это такое число, переменная или выражение, на которое умножены все эти слагаемые.
Пример 3.1.
Здесь общий множитель $x$
$\Rightarrow 2x + 3x = x(2 + 3)$
$\Rightarrow 2x + 3x = x(2 + 3)$
Пример 3.2.
Здесь общих множителей много. Это $3$, $x$, $y$ или сразу $3xy$.
$\Rightarrow 3xy + 6xy = 3xy(1 + 2)$
$\Rightarrow 3xy + 6xy = 3xy(1 + 2)$
Попробуйте сами
Общим множителем может быть не только переменная или число, но и более сложное выражение, например целая скобка.
Пример 3.3.
$4x + 5x = (4+5)x = 9x$
$xy + 3y = y \cdot (x + 3)$
$42a + 84b = 42 \cdot (a + 2 \cdot b)$
Попробуйте сами
Общий множитель здесь $(x+1)$.
Вынесем его: $2(x+1) + x(x+1) = (x+1)(2 + x)$
Вынесем его: $2(x+1) + x(x+1) = (x+1)(2 + x)$
Ключевые моменты
Запомните правило «фонтанчика»: каждое слагаемое из первой скобки умножается на каждое слагаемое из второй, а затем всё это складывается.
Приведение подобных слагаемых. Когда мы упрощаем выражение,
собирая «подобные» части, мы выполняем тот же самый шаг - выносим общую часть. Подобные слагаемые - это слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть (т.е. одинаковый набор переменных в одинаковых степенях).
собирая «подобные» части, мы выполняем тот же самый шаг - выносим общую часть. Подобные слагаемые - это слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть (т.е. одинаковый набор переменных в одинаковых степенях).
$3(x+2) + 5(x+2) = (3+5)(x+2) = 8(x+2)$
$x(x-4) + 21(x-4) = (x+21)(x-4)$
Пример 3.4.
$3x² + 2x − 3 + 2x² − x + 7 = (3 + 2)x² + (2 − 1)x + (−3 + 7) = 5x² + x + 4$.
Попробуйте сами
$3x + 2x - x = (3 + 2 - 1)x = 4x$
$19x^2 + x − 11x^2 − 7x + 5 = (19-11)x^2 + (1-7)x + 5 = 8x^2 - 6x + 5$
$2a + 3a^3 − 12a + 2 − a^3 + a^2 =$
$= (3 - 1)a^3 + a^2 + (2-12)a + 2 =$
$= 2a^3 + a^2 -10a + 2$
$= (3 - 1)a^3 + a^2 + (2-12)a + 2 =$
$= 2a^3 + a^2 -10a + 2$
$z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 − 2 − z^2 + z^3 − 7z^5 + z^4 =$
$= (1-7)z^5 + (1+1)z^4 + (1+1)z^3 + (1-1)z^2 + z + (1-2) =$
$= -6z^5 + 2z^4 + 2z^3 + z - 1$
$= (1-7)z^5 + (1+1)z^4 + (1+1)z^3 + (1-1)z^2 + z + (1-2) =$
$= -6z^5 + 2z^4 + 2z^3 + z - 1$
4. Формулы сокращённого умножения (ФСУ)
Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это часто используемые тождественные преобразования, которые помогают быстро раскрывать скобки или, наоборот, сворачивать определённые выражения. Все они выводятся обычным раскрытием скобок и приведением подобных, как мы делали выше.
Рассмотрим классический пример:
Квадрат суммы:
$\begin{align*}
(a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\
&= a^2 + ab + ab + b^2 \\
&= a^2 + 2ab + b^2
\end{align*}$
$\Rightarrow$ Получилась формула:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Точно также можно получить формулу для разности:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
Для третьей степени:
$\begin{align*}
(a+b)^3 &= (a+b)^2(a+b) \\
&= (a^2 + 2ab + b^2 )(a+b) \\
&= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^2a + b^3 \\
&= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\
\end{align*}$
$\Rightarrow (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Также важна формула разности квадратов:
$(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2 $
$\Rightarrow (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $
Похожим образом можно получить другие формулы:
$(a-b)(a^2+ab+ b^2) = a^3 - b^3$
$(a+b)(a^2-ab+ b^2) = a^3 + b^3$
Квадрат суммы:
$\begin{align*}
(a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\
&= a^2 + ab + ab + b^2 \\
&= a^2 + 2ab + b^2
\end{align*}$
$\Rightarrow$ Получилась формула:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Точно также можно получить формулу для разности:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
Для третьей степени:
$\begin{align*}
(a+b)^3 &= (a+b)^2(a+b) \\
&= (a^2 + 2ab + b^2 )(a+b) \\
&= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^2a + b^3 \\
&= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\
\end{align*}$
$\Rightarrow (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Также важна формула разности квадратов:
$(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2 $
$\Rightarrow (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $
Похожим образом можно получить другие формулы:
$(a-b)(a^2+ab+ b^2) = a^3 - b^3$
$(a+b)(a^2-ab+ b^2) = a^3 + b^3$
Таблица со всеми основными ФСУ
Эти формулы применяются в разных ситуациях: либо когда нужно быстро раскрыть скобки, либо когда наоборот, необходимо свернуть выражение, разложить его на множители.
Пример 4.1.
Применяем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$
$(x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$
Пример 4.2
Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$:
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$
Попробуйте сами
$(2x+1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$
$(x-4)^3 = x^3 + 3x^2(–4) + 3x(–4)^2 + (–4)^3 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$
$x^2 - 625 = x^2 - 25^2 = (x - 25) \cdot (x + 25)$
$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3) \cdot (2x + 3)$
5. Ключевые моменты по всему уроку
- Скобки - это математическая конструкция, которая объединяет несколько элементов в одно целое.
- Раскрытие скобок означает умножение каждого слагаемого внутри скобок на число или выражение перед ними.
- Минус распространяется на каждое слагаемое внутри скобок.
- Правило «фонтанчика»: каждое слагаемое из первой скобки умножается на каждое слагаемое из второй, а затем всё это складывается.
- Вынос за скобки - это обратная операция к раскрытию скобок. Для этого необходимо найти общий множитель, который присутствует во всех слагаемых.
- Приведение подобных слагаемых подразумевает группировку членов с одинаковыми степенями и дальнейшее их сложение или вычитание.
- Чтобы «собрать» выражение в скобки, нужно найти часть, которая повторяется в каждом слагаемом, то есть общий множитель этих слагаемых.
- Общий множитель нескольких слагаемых - это такое число, переменная или выражение, на которое умножены все эти слагаемые.
- Общим множителем может быть не только переменная или число, но и более сложное выражение, например целая скобка.
- Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это часто используемые тождественные преобразования, которые помогают быстро раскрывать скобки или, наоборот, сворачивать определённые выражения.
6. Упражнения для самостоятельного решения
В упражнениях 1.1 - 1.11 раскройте скобки и упростите выражение.
$3+5(4x+2) =$
$= 3+5 \cdot 4x+5 \cdot 2$
$= 3+20x+10$
$= 20x+13$
$= 3+5 \cdot 4x+5 \cdot 2$
$= 3+20x+10$
$= 20x+13$
$25-(3x+3)=25-3 \cdot x-3=22-3x$
$-7(x-3)+2(x-2) =$
$= -7 \cdot x+(-7) \cdot (-3)+2 \cdot x+2 \cdot (-2)$
$= -7x+21+2x-4$
$= -5x+17$
$= -7 \cdot x+(-7) \cdot (-3)+2 \cdot x+2 \cdot (-2)$
$= -7x+21+2x-4$
$= -5x+17$
$2+(x+2y)-3(y-x) =$
$= 2+x+2 \cdot y-3 \cdot y+3 \cdot x$
$= 2+4 \cdot x-y$
$= 2+x+2 \cdot y-3 \cdot y+3 \cdot x$
$= 2+4 \cdot x-y$
$x(x+2)-2(x+1) =$
$= x \cdot x+x \cdot 2-2 \cdot x-2 \cdot 1$
$= x^2+2x-2x-2$
$= x^2-2$
$= x \cdot x+x \cdot 2-2 \cdot x-2 \cdot 1$
$= x^2+2x-2x-2$
$= x^2-2$
Раскроем первые скобки
$23x(17x-2+3x^2) =$
$= 23x \cdot 17x+23x \cdot (-2)+23x \cdot 3x^2$
$= 391x^2-46x+69x^3$
Раскроем вторые скобки
$22x(18x+3+4x^2) =$
$= 22x \cdot 18x+22x \cdot 3+22x \cdot 4x^2$
$= 396x^2+66x+88x^3$
Подставим и упростим
$391x^2-46x+69x^3-396x^2-66x-88x^3 = -19x^3-5x^2-112x$
$23x(17x-2+3x^2) =$
$= 23x \cdot 17x+23x \cdot (-2)+23x \cdot 3x^2$
$= 391x^2-46x+69x^3$
Раскроем вторые скобки
$22x(18x+3+4x^2) =$
$= 22x \cdot 18x+22x \cdot 3+22x \cdot 4x^2$
$= 396x^2+66x+88x^3$
Подставим и упростим
$391x^2-46x+69x^3-396x^2-66x-88x^3 = -19x^3-5x^2-112x$
Раскроем первые скобки в []
$x(x+2) =$
$= x \cdot x+x \cdot 2$
$= x^2+2x$
Раскроем вторые скобки в []
$2x(1-2x) =$
$= 2x \cdot 1-2x \cdot 2x$
$= 2x-4x^2$
Посчитаем выражение в []
$x^2+2x+2x-4x^2=-3x^2+4x$
Раскроем скобки []
$3 \cdot (-3x^2+4x) = -9x^2+12x$
Раскроем второе слагаемое
$(x+2)9x =$
$= 9x \cdot x+9x \cdot 2$
$= 9x^2+18x$
Посчитаем итоговый результат
$-9x^2+12x-9x^2-18x = -18x^2-6x$
$x(x+2) =$
$= x \cdot x+x \cdot 2$
$= x^2+2x$
Раскроем вторые скобки в []
$2x(1-2x) =$
$= 2x \cdot 1-2x \cdot 2x$
$= 2x-4x^2$
Посчитаем выражение в []
$x^2+2x+2x-4x^2=-3x^2+4x$
Раскроем скобки []
$3 \cdot (-3x^2+4x) = -9x^2+12x$
Раскроем второе слагаемое
$(x+2)9x =$
$= 9x \cdot x+9x \cdot 2$
$= 9x^2+18x$
Посчитаем итоговый результат
$-9x^2+12x-9x^2-18x = -18x^2-6x$
Раскроем первые скобки
$2(2x+3x^2-4x^3+1) =$
$= 2 \cdot 2x+2 \cdot 3x^2+2 \cdot (-4x^3)+2 \cdot 1$
$= 4x+6x^2-8x^3+2$
Раскроем вторые скобки и соберем подобные слагаемые
$4x+6x^2-8x^3+2-x-2-2x^3 = 3x+6x^2-10x^3$
$2(2x+3x^2-4x^3+1) =$
$= 2 \cdot 2x+2 \cdot 3x^2+2 \cdot (-4x^3)+2 \cdot 1$
$= 4x+6x^2-8x^3+2$
Раскроем вторые скобки и соберем подобные слагаемые
$4x+6x^2-8x^3+2-x-2-2x^3 = 3x+6x^2-10x^3$
Раскроем первые скобки
$3(x+y+3z) =$
$= 3 \cdot x+3 \cdot y+3 \cdot 3z$
$= 3x+3y+9z$
Раскроем вторые скобки
$-2(2x+3y-z) =$
$= -2 \cdot 2x-2 \cdot 3y+2 \cdot z$
$= -4x-6y+2z$
Раскроем последнюю скобку (просто уберем, так как перед ней знак +) и соберем подобные слагаемые
$3x+3y+9z-4x-6y+2z-x-z+y = -2x-2y+10z$
$3(x+y+3z) =$
$= 3 \cdot x+3 \cdot y+3 \cdot 3z$
$= 3x+3y+9z$
Раскроем вторые скобки
$-2(2x+3y-z) =$
$= -2 \cdot 2x-2 \cdot 3y+2 \cdot z$
$= -4x-6y+2z$
Раскроем последнюю скобку (просто уберем, так как перед ней знак +) и соберем подобные слагаемые
$3x+3y+9z-4x-6y+2z-x-z+y = -2x-2y+10z$
$2(x+3):2 =$
$= 2 \cdot \frac{(x+3)}{2}$
$= x+3$
$= 2 \cdot \frac{(x+3)}{2}$
$= x+3$
Раскроем первые скобки
$3x(2x+3):6 =$
$= \frac{3x \cdot 2x+3x \cdot 3}{6}$
$= \frac{6x^2+9x}{6}$
Раскроем вторые скобки
$2x(2+3x):6 =$
$= \frac{2x \cdot 2+2x \cdot 3x}{6}$
$= \frac{4x+6x^2}{6}$
Соберем в кучу и упростим
$\frac{6x^2+9x}{6} + \frac{4x+6x^2}{6} = \frac{12x^2+13x}{6}$
$3x(2x+3):6 =$
$= \frac{3x \cdot 2x+3x \cdot 3}{6}$
$= \frac{6x^2+9x}{6}$
Раскроем вторые скобки
$2x(2+3x):6 =$
$= \frac{2x \cdot 2+2x \cdot 3x}{6}$
$= \frac{4x+6x^2}{6}$
Соберем в кучу и упростим
$\frac{6x^2+9x}{6} + \frac{4x+6x^2}{6} = \frac{12x^2+13x}{6}$
Раскроем первые скобки
$3x(2x+3):6 =$
$= \frac{3x \cdot 2x+3x \cdot 3}{6}$
$= \frac{6x^2+9x}{6}$
Раскроем вторые скобки
$2x(2+3x):6 =$
$= \frac{2x \cdot 2+2x \cdot 3x}{6}$
$= \frac{4x+6x^2}{6}$
Соберем в кучу и упростим
$\frac{6x^2+9x}{6} + \frac{4x+6x^2}{6} = \frac{12x^2+13x}{6}$
$3x(2x+3):6 =$
$= \frac{3x \cdot 2x+3x \cdot 3}{6}$
$= \frac{6x^2+9x}{6}$
Раскроем вторые скобки
$2x(2+3x):6 =$
$= \frac{2x \cdot 2+2x \cdot 3x}{6}$
$= \frac{4x+6x^2}{6}$
Соберем в кучу и упростим
$\frac{6x^2+9x}{6} + \frac{4x+6x^2}{6} = \frac{12x^2+13x}{6}$
В упражнениях 1.12-1.21 раскройте скобки правилом "фонтанчика" и упростите выражения
$(2x+1)(3x+4) =$
$= 2x \cdot 3x+2x \cdot 4+1 \cdot 3x+1 \cdot 4$
$= 6x^2+8x+3x+4$
$= 6x^2+11x+4$
$= 2x \cdot 3x+2x \cdot 4+1 \cdot 3x+1 \cdot 4$
$= 6x^2+8x+3x+4$
$= 6x^2+11x+4$
$(1-x)(1+x)=$
$= 1 \cdot 1+1 \cdot x+(-x) \cdot 1+(-x) \cdot x$
$= 1+x-x-x^2$
$= 1-x^2$
$= 1 \cdot 1+1 \cdot x+(-x) \cdot 1+(-x) \cdot x$
$= 1+x-x-x^2$
$= 1-x^2$
Раскроем скобки
$(12+x)(2x+3) = 12 \cdot 2x+12 \cdot 3+x \cdot 2x+x \cdot 3$
$= 24x+36+2x^2+3x$
$= 2x^2+27x+36$
И умножим на 3
$3 \cdot (2x^2+27x+36)=6x^2+81x+108$
$(12+x)(2x+3) = 12 \cdot 2x+12 \cdot 3+x \cdot 2x+x \cdot 3$
$= 24x+36+2x^2+3x$
$= 2x^2+27x+36$
И умножим на 3
$3 \cdot (2x^2+27x+36)=6x^2+81x+108$
$(2x+1+y)(x-y) =$
$= 2x \cdot x+2x \cdot (-y)+1 \cdot x+1 \cdot (-y)+y \cdot x+y \cdot (-y)$
$= 2x^2-2xy+x-y+xy-y^2$
$= 2x \cdot x+2x \cdot (-y)+1 \cdot x+1 \cdot (-y)+y \cdot x+y \cdot (-y)$
$= 2x^2-2xy+x-y+xy-y^2$
$(2x^2+11x-3)(x^2+2x+1) =$
$= 2x^2 \cdot (x^2+2x+1)+11x \cdot (x^2+2x+1)-3 \cdot (x^2+2x+1)$
$= 2x^4+4x^3+2x^2+11x^3+22x^2+11x-3x^2-6x-3$
$= 2x^4+15x^3+21x^2+5x-3$
$= 2x^2 \cdot (x^2+2x+1)+11x \cdot (x^2+2x+1)-3 \cdot (x^2+2x+1)$
$= 2x^4+4x^3+2x^2+11x^3+22x^2+11x-3x^2-6x-3$
$= 2x^4+15x^3+21x^2+5x-3$
Раскроем первые скобки
$(3x-1)(2x+1) = $
$= 3x \cdot 2x+3x \cdot 1+(-1) \cdot 2x+(-1) \cdot 1$
$= 6x^2+3x-2x-1 $
$= 6x^2+x-1$
Подставим и раскроем последние скобки
$(6x^2+x-1)(x-2) = $
$= 6x^2 \cdot x+6x^2 \cdot (-2)+x \cdot x+x \cdot (-2)+(-1) \cdot x+(-1) \cdot (-2)$
$= 6x^3-12x^2+x^2-2x-x+2 $
$= 6x^3-11x^2-3x+2$
$(3x-1)(2x+1) = $
$= 3x \cdot 2x+3x \cdot 1+(-1) \cdot 2x+(-1) \cdot 1$
$= 6x^2+3x-2x-1 $
$= 6x^2+x-1$
Подставим и раскроем последние скобки
$(6x^2+x-1)(x-2) = $
$= 6x^2 \cdot x+6x^2 \cdot (-2)+x \cdot x+x \cdot (-2)+(-1) \cdot x+(-1) \cdot (-2)$
$= 6x^3-12x^2+x^2-2x-x+2 $
$= 6x^3-11x^2-3x+2$
Раскроем первую пару скобок
$(x+1)(x-1)=x \cdot x-1=x^2-1$
Раскроем вторую пару скобок
$(x+2)(x-2)=x \cdot x-4=x^2-4$
Подставим и раскроем скобки
$(x^2-1)(x^2-4) = x^2 \cdot x^2-4 \cdot x^2-1 \cdot x^2+4 = x^4-5x^2+4$
$(x+1)(x-1)=x \cdot x-1=x^2-1$
Раскроем вторую пару скобок
$(x+2)(x-2)=x \cdot x-4=x^2-4$
Подставим и раскроем скобки
$(x^2-1)(x^2-4) = x^2 \cdot x^2-4 \cdot x^2-1 \cdot x^2+4 = x^4-5x^2+4$
$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
$(x^2-y^2)(2x+3y)=2x^3+3x^2y-2xy^2-3y^3$
$(x^2-y^2)(2x+3y)=2x^3+3x^2y-2xy^2-3y^3$
Раскроем средние скобки
$(1-4x)(4x+2) =$
$= 1 \cdot 4x+1 \cdot 2+(-4x) \cdot 4x+(-4x) \cdot 2$
$= 4x+2-16x^2-8x$
$= -16x^2-4x+2$
Умножим на 3
$3 \cdot (-16x^2-4x+2) = -48x^2-12x+6$
Раскроем вторые скобки
$(3x-1)(2+x) = $
$= 3x \cdot 2+3x \cdot x+(-1) \cdot 2+(-1) \cdot x$
$= 6x+3x^2-2-x$
$= 3x^2+5x-2$
Собираем в кучу
$2x+(-48x^2-12x+6)-(3x^2+5x-2) = -51x^2-15x+8$
$(1-4x)(4x+2) =$
$= 1 \cdot 4x+1 \cdot 2+(-4x) \cdot 4x+(-4x) \cdot 2$
$= 4x+2-16x^2-8x$
$= -16x^2-4x+2$
Умножим на 3
$3 \cdot (-16x^2-4x+2) = -48x^2-12x+6$
Раскроем вторые скобки
$(3x-1)(2+x) = $
$= 3x \cdot 2+3x \cdot x+(-1) \cdot 2+(-1) \cdot x$
$= 6x+3x^2-2-x$
$= 3x^2+5x-2$
Собираем в кучу
$2x+(-48x^2-12x+6)-(3x^2+5x-2) = -51x^2-15x+8$
Раскроем первые скобки
$(x-10)(2x+1) =$
$= x \cdot 2x+x \cdot 1+(-10) \cdot 2x+(-10) \cdot 1$
$= 2x^2+x-20x-10$
$= 2x^2-19x-10$
Раскроем вторые скобки
$3x(2x+3) =$
$= 3x \cdot 2x+3x \cdot 3$
$= 6x^2+9x$
Подставляем и упрощаем
$(2x^2-19x-10)-(6x^2+9x)-(x+1)$
$= 2x^2-19x-10-6x^2-9x-x-1 $
$= -4x^2-29x-11$
$(x-10)(2x+1) =$
$= x \cdot 2x+x \cdot 1+(-10) \cdot 2x+(-10) \cdot 1$
$= 2x^2+x-20x-10$
$= 2x^2-19x-10$
Раскроем вторые скобки
$3x(2x+3) =$
$= 3x \cdot 2x+3x \cdot 3$
$= 6x^2+9x$
Подставляем и упрощаем
$(2x^2-19x-10)-(6x^2+9x)-(x+1)$
$= 2x^2-19x-10-6x^2-9x-x-1 $
$= -4x^2-29x-11$
В упражнениях 1.22 - 1.32 вынесите общий множитель
$2x+4x+6x = 2x(1+2+3) = 2x \cdot 6 = 12x$
$2x+2y+4z = 2 \cdot (x+y+2z)$
$3xy+2x+x^2 = x(3y+2+x)$
$3xy+7y+y^2 = y(3x+7+y)$
$7x^2+6x^3+x = x(6x^2+7x+1)$
$9zx+3xyz-z^2x = xz \cdot (9+3y-z)$
$3y(2x+1)-4y(3x+1) =$
$= y[3(2x+1)-4(3x+1)]$
$= y(6x+3-12x-4) $
$= y(-6x-1)$
$= y[3(2x+1)-4(3x+1)]$
$= y(6x+3-12x-4) $
$= y(-6x-1)$
$4y(2x+3)+(2x+3)-5(2x+3) =$
$= (2x+3)[4y+1-5]$
$= (2x+3)(4y-4)$
$= 4(2x+3)(y-1)$
$= (2x+3)[4y+1-5]$
$= (2x+3)(4y-4)$
$= 4(2x+3)(y-1)$
$4y(2x+3)+(2x+3)-5(2x+3) =$
$= (2x+3)[4y+1-5]$
$= (2x+3)(4y-4)$
$= 4(2x+3)(y-1)$
$= (2x+3)[4y+1-5]$
$= (2x+3)(4y-4)$
$= 4(2x+3)(y-1)$
$(y+3x)=(3x+y)$, поэтому
$11zx(3x+y)^3-x(3x+y)^2+x^2(3x+y) = x \cdot (3x+y)[11z(3x+y)^2-(3x+y)+x]$
$11zx(3x+y)^3-x(3x+y)^2+x^2(3x+y) = x \cdot (3x+y)[11z(3x+y)^2-(3x+y)+x]$
$(z+1)=(1+z)$, поэтому
$24xy(z+1)-12x(z+1)^2-(z+1) = (z+1)[24xy-12x(z+1)-1]$
$24xy(z+1)-12x(z+1)^2-(z+1) = (z+1)[24xy-12x(z+1)-1]$
В упражнениях 1.33 - 1.37 приведите подобные слагаемые
$7x+11x-23x = -5x$
$19x^2-11x^2+x-7x+5 = 8x^2-6x+5$
$2a+3a^3-12a+2-a^3+a^2 =$
$= (3a^3-a^3)+a^2+(2a-12a)+2$
$= 2a^3+a^2-10a+2$
$= (3a^3-a^3)+a^2+(2a-12a)+2$
$= 2a^3+a^2-10a+2$
Найдем подобные
$z^5-7z^5 = -6z^5;$
$z^4+z^4=2z^4;$
$z^3+z^3=2z^3;$
$z^2-z^2=0;$
$1-2=-1; $
Итог: $-6z^5+2z^4+2z^3+z-1$
$z^5-7z^5 = -6z^5;$
$z^4+z^4=2z^4;$
$z^3+z^3=2z^3;$
$z^2-z^2=0;$
$1-2=-1; $
Итог: $-6z^5+2z^4+2z^3+z-1$
$ax^2+3x^2 = (a+3)x^2;$
$-7x+ax-x = (a-8)x;$
Итог: $(a+3)x^2+(a-8)x$
$-7x+ax-x = (a-8)x;$
Итог: $(a+3)x^2+(a-8)x$
В упражнениях 1.38 - 1.43 раскройте скобки и приведите подобные слагаемые
Раскроем первые скобки
$(2x+3)(x-1) =$
$= 2x \cdot x+2x \cdot (-1)+3 \cdot x+3 \cdot (-1)$
$= 2x^2-2x+3x-3$
$= 2x^2+x-3;$
Сумма
$2x^2+x-3+x^2-5x = 3x^2-4x-3$
$(2x+3)(x-1) =$
$= 2x \cdot x+2x \cdot (-1)+3 \cdot x+3 \cdot (-1)$
$= 2x^2-2x+3x-3$
$= 2x^2+x-3;$
Сумма
$2x^2+x-3+x^2-5x = 3x^2-4x-3$
$(x-3)(x+3) =$
$= x \cdot x+x \cdot 3+(-3) \cdot x+(-3) \cdot 3$
$= x^2+3x-3x-9$
$= x^2-9$
$= x \cdot x+x \cdot 3+(-3) \cdot x+(-3) \cdot 3$
$= x^2+3x-3x-9$
$= x^2-9$
Раскроем первые скобки
$(x+5)(x+5) = x^2+10x+25$
Соберем в кучу
$x^2+10x+25+2x^2-x^2+x-20 = 2x^2+11x+5$
$(x+5)(x+5) = x^2+10x+25$
Соберем в кучу
$x^2+10x+25+2x^2-x^2+x-20 = 2x^2+11x+5$
$(x+4)^3 = $
$= (x+4)(x+4)(x+4) $
$= (x^2+8x+16)(x+4)$
$= x^3 + 4x + 8x^2 + 32x + 16x + 64$
$= x^3+12x^2+48x+64$
$= (x+4)(x+4)(x+4) $
$= (x^2+8x+16)(x+4)$
$= x^3 + 4x + 8x^2 + 32x + 16x + 64$
$= x^3+12x^2+48x+64$
$(2x-3)^2(2x-3) =$
$= (2x-3)^3$
$= 8x^3-36x^2+54x-27$
$= (2x-3)^3$
$= 8x^3-36x^2+54x-27$
Раскроем первые скобки и упростим первое слагаемое
$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$
$2x \cdot (x^2+x-2)=2x^3+2x^2-4x$
Раскроем вторые скобки
$x^2(x-3)=x^3-3x^2$
Раскроем третьи скобки
$2(3x+7)=6x+14$
Всё вместе
$2x^3+2x^2-4x+x^3-3x^2+6x+14 = 3x^3-x^2+2x+14$
$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$
$2x \cdot (x^2+x-2)=2x^3+2x^2-4x$
Раскроем вторые скобки
$x^2(x-3)=x^3-3x^2$
Раскроем третьи скобки
$2(3x+7)=6x+14$
Всё вместе
$2x^3+2x^2-4x+x^3-3x^2+6x+14 = 3x^3-x^2+2x+14$
Раскроем первые скобки и упростим первое слагаемое
$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$
$2x \cdot (x^2+x-2)=2x^3+2x^2-4x$
Раскроем вторые скобки
$x^2(x-3)=x^3-3x^2$
Раскроем третьи скобки
$2(3x+7)=6x+14$
Всё вместе
$2x^3+2x^2-4x+x^3-3x^2+6x+14 = 3x^3-x^2+2x+14$
$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$
$2x \cdot (x^2+x-2)=2x^3+2x^2-4x$
Раскроем вторые скобки
$x^2(x-3)=x^3-3x^2$
Раскроем третьи скобки
$2(3x+7)=6x+14$
Всё вместе
$2x^3+2x^2-4x+x^3-3x^2+6x+14 = 3x^3-x^2+2x+14$
В упражнениях 1.44 - 1.50 примените ФСУ
$(x+3)^2 =$
$= x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2$
$= x^2+6x+9$
$= x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2$
$= x^2+6x+9$
$x^2-3^2 = (x-3)(x+3)$
$(x+3y)^3 =$
$= x^3+3 \cdot x^2 \cdot (3y)+3 \cdot x \cdot (3y)^2+(3y)^3$
$= x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3$
$= x^3+3 \cdot x^2 \cdot (3y)+3 \cdot x \cdot (3y)^2+(3y)^3$
$= x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3$
$(2x)^3-(3y)^3 =$
$= 8x^3-27y^3 $
$= (2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$
$= 8x^3-27y^3 $
$= (2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$
$(2xy-3z)^3 =$
$= (2xy)^3-3 \cdot (2xy)^2 \cdot (3z)+3 \cdot (2xy) \cdot (3z)^2-(3z)^3$
$= 8x^3y^3-36x^2y^2z+54x \cdot y \cdot z^2-27z^3$
$= (2xy)^3-3 \cdot (2xy)^2 \cdot (3z)+3 \cdot (2xy) \cdot (3z)^2-(3z)^3$
$= 8x^3y^3-36x^2y^2z+54x \cdot y \cdot z^2-27z^3$
Раскроем первые скобки и упростим первое слагаемое
$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$
$2x \cdot (x^2+x-2)=2x^3+2x^2-4x$
Раскроем вторые скобки
$x^2(x-3)=x^3-3x^2$
Раскроем третьи скобки
$2(3x+7)=6x+14$
Всё вместе
$2x^3+2x^2-4x+x^3-3x^2+6x+14 = 3x^3-x^2+2x+14$
$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$
$2x \cdot (x^2+x-2)=2x^3+2x^2-4x$
Раскроем вторые скобки
$x^2(x-3)=x^3-3x^2$
Раскроем третьи скобки
$2(3x+7)=6x+14$
Всё вместе
$2x^3+2x^2-4x+x^3-3x^2+6x+14 = 3x^3-x^2+2x+14$
$16x^2-25 =$
$= (4x)^2-5^2$
$= (4x-5)(4x+5)$
$= (4x)^2-5^2$
$= (4x-5)(4x+5)$
7. Оцените своё понимание
Вопрос: Ознакомившись с чек-листом, чувствуете ли вы себя готовым к следующему разделу? Почему да или почему нет?