В этом уроке мы изучим один из основных математических объектов – множество. Изучим основные действия с множествами и способы визуализации множеств и операций над ними.

Вы научитесь:

• Определять множества и производить операции с ними;
• Строить диаграммы Венна и использовать их на практике;
• Записывать различные действия с множествами и объектами: объединения, пересечения, дополнения, принадлежность и т.д.

Попробуйте ответить на эти вопросы перед началом урока:

1. Если известно, что в квартире Маяковского 5 пушистых котов и 3 рыжих, то сколько всего может быть котов в квартире?
2. Какие множества чисел вы помните?
3. Существует ли “ничего”?
4. Что общего у Ельцина, Мэтью Макконахи и Анны Магдалены?

Число, точка, прямая, функция, пространство, операция, равенство … Что общего у всех этих понятий?

Они — есть фундамент математики. Сегодня мы познакомимся с ещё одним фундаментальным понятием математики. Я бы сказал, что понятие — самое фундаментальное из перечисленных.

Это понятие — множество.

Множество — одно из фундаментальных понятий в математике. Как и другие фундаментальные вещи оно не может быть определено через что-то ещё более фундаментальное. Множества понимаются интуитивно. Однако мы можем изучать эти объекты исследуя их свойства.

Под множеством мы понимаем набор каких-либо объектов — элементов этого множества. То есть мы объединяем под общим флагом какие-либо штуки и получаем множество.

Можете осмотреться вокруг и увидеть перед собой множество разных предметов, наполняющих пространство. Можете посмотреть на текст, который читаете и увидеть множество слов в этом тексте, множество букв.

Георг Кантор, общепризнанный создатель теории множеств, определил множество как “единое имя для совокупности всех объектов, обладающих заданным свойством”.

Расплывчатость определения не мешает нам работать со множествами, ведь это довольно интуитивное понятие. Математики изучают множества по их свойствам: задают некий набор аксиом и смотрят как работает логика и математика в целом с этим набором аксиом.

Если вы можете представить, что какой-то набор объектов можно назвать одним именем, то поздравляю, вы познали понятие множества.

Любое множество состоит из объектов, которые называются элементами множества. Иногда ещё говорят “точки множества”.

Обычно множества обозначают заглавными буквами, а их элементы — строчными. Например множество \(A\) и его элементы \(a, b, c\).

Как на языке математики сказать, что какой-либо элемент принадлежит или не принадлежит множеству?

Для этого существует специальные обозначения:

- Если элемент \(a\) принадлежит множеству \(A\), то пишут \(a \in A\)
- Если элемент \(a\) НЕ принадлежит множеству \(A\), то пишут \(a \notin A\)

Символы \(\in\) и \(\notin\) буквально переводятся как “принадлежит” и “не принадлежит”.

Возможно вы удивитесь, но существуют также символы \(\ni\) и \(\not\ni\). Как думаете, что они могут значить?

Ответ:

• Если множество \(A\) содержит элемент \(a\), то пишут \(A \ni a\)
• Если во множестве \(A\) отсутствует элемент \(a\), то пишут \(A \not\ni a\)

Кстати, если хочется сказать, что не существует какого-то числа, то можно написать что это число принадлежит пустому множеству, например так: \(x \in \emptyset\). Это бывает полезно, когда нужно указать, что у уравнения нет решений.

Как уже было сказано — существует два основных способа задать множества: перечислением его элементов и описанием свойств.

Самый простой способ. Просто перечисляем все элементы входящие в множество. Записываем всё в фигурных скобках через запятую. Например, фраза “множество \(A\) состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6” записывается так: \(A = \{1,2,3,4,5,6\}\).

Понятно, что не всегда мы можем перечислить все элементы множества. Иногда мы можем просто сказать “дальше по аналогии” и поставить многоточие. Например, \(X = \{1,2,3,...,37\}\). Имеется ввиду, что множество \(X\) состоит из всех натуральных чисел от 1 до 37.

Кстати, множествам всё равно на порядок элементов. Если у вас есть два множества \(A = \{1,2,3\}\) и \(B = \{2,3,1\}\), то это равные множества, так как $A$ и $B$ состоят их одних и тех же элементов: $A = B \Leftrightarrow \{1,2,3\} = \{2,3,1\}$.

Если перечислить все элементы затруднительно или невозможно, то можно просто описать правило построения множества. Формально, если $P(x)$ — это некое свойство или логическое правило для переменной $x$, то
$$ \{x\ |\ P(x)\} \\ \{x : P(x)\} $$
обозначает множество всех элементов $x$ с заданным свойством $P(x)$.

Например,

$$Y = \{y\ |\ y \ \text{положительное четное число}\}$$

Читается это так — “Множество $Y$ состоит из элементов $y$, таких, что $y$ является положительным четным числом”. Короче мы имеет просто множество всех положительных четных чисел $Y = \{2,4,6,8,10,12,...\}$.

Вертикальная черта | и двоеточие : читается как “таких, что”.

$\kappa$ – греческая буква каппа

Довольно часто в качестве свойства $\Rho (x)$ используется принадлежность какому-то промежутку.

Например, множество натуральных чисел строго больших $1$ и меньших, либо равных $12$: $$ \{x \in \N \ | 1 < x \leqslant 12\} $$
Графически такие множества удобно изображать на числовой прямой:

Обратите внимание на то, что:

• когда граница промежутка не включена во множество, то мы используем строгие знаки $>$ или $<$ и изображаем границу в виде выколотой (незакрашенной) точки.
• когда граница включена, то используются нестрогие знаки $\geqslant$ или $\leqslant$ и изображаем границу в виде закрашенной точки.

A.1. Задайте несколько различных множеств, содержащих:

a. Только буквы
b. Только числа
c. Буквы и числа
d. Геометрические фигуры
e. Животных
f. Всё вместе

A.2. Переведите с математического языка на человеческий:

a. $c \in H$
b. $T \ni j$
c. $-1 \notin P$
d. $X = \{0,5,10,15\}$
e. $U = \{u \ | \ u \text{ является простым числом}\}$
f. $R = \{\text{линейные функции}\}$

A.3. Переведите с человеческого языка на математический:

a. Число $2$ принадлежит множеству $J$
b. Множество $W$ содержит элемент $s$
c. Множество $\Z$ не содержит число $\sqrt{2}$
d. Множество $E$ является множеством, содержащим элементы $e$, такие, что $e = 3m + 1$, где $m$ является элементом множества $\N$
e. $7$ содержится во множестве, состоящем из элементов 5, 6, 7, 10, 13, 15, 22.

A.4. Визуализируйте множества любым удобным образом:

a. $A = \{2,3,4,5\}$, $B = \{4,5,6,7,8\}$
b. $L = \{\text{буквы латинского алфавита}\}$, $K = \{\text{буквы русского алфавита}\}$
с. $X = \{0, 2, 4, 5, 6, 8\}$, $T = \{\text{нечетные числа от 1 до 9 включительно}\}$

Количество элементов во множестве $A$ обозначается как $n(A)$. Например, количество элементов во множестве $B = \set{1,2,3,4,5,6}$ будет равно $n(B) = 6$.

Существуют множества, состоящие из бесконечного числа элементов. Это, например, множества натуральных чисел, целых чисел и других.

Подмножество — это множество, которое является частью другого множества.

Примечания:

• Символ $\subseteq$ является аналогом символа $\leqslant$, то есть в случае $A \subseteq B$ допускается равенство множеств $A = B$.
• Символ $\subset$ является аналогом символа $<$, то есть в случае $A \subset B$ множество $A$ не может совпадать с множеством $B$.

Надмножество — это множество, которое содержит в себе данное множество.

1. Множество $\set{1,2,3}$ является подмножеством множества $\set{1,2,3,4,5}$
2. Множество $\set{a,b,c,d,e}$ является надмножеством множества $\set{a,e}$
3. У множества $\set{x,y,z}$ всего $8$ подмножеств: $\emptyset, \set{x}, \set{y}, \set{z}, \set{x,y}, \set{x,z}, \set{y,z}, \set{x,y,z}$
4. Множество $\emptyset$ является подмножеством любого множества
5. Натуральные числа являются подмножеством множества целых чисел. $\N \subset \Z$

Самые часто встречаемые множества чисел следующие:

• $\N$ — Натуральные числа — множество чисел, используемых для счета. $\N = \set{1,2,3,...}$. Это множество, как и другие — бесконечно.
• $\Z$ — Целые числа — такие же как натуральные, но включая $0$ и отрицательные числа. $\Z = \set{0, \pm1, \pm2, ...}$.
• $\Bbb{Q}$ — Рациональные числа — множество всех дробей вида $\frac{a}{b}$, где $a \in \Z$, $b \in \N$. Можно записать так: $\Bbb{Q} = \set{\frac{a}{b} | \ a\in \Z, \ b \in \N }$. По сути это все привычные числа: $1, -0.3, 25, \frac{1}{3}, -28382$ и т.д.
• $\Bbb{Q}'$ — Иррациональные числа — множество всех чисел, которые нельзя представить в виде дробей. Например $\sqrt{2}, \pi, e$ и другие.
• $\R$ — Действительные или вещественные числа — множество всех рациональных и иррациональных чисел.
• $\Complex$ — Комплексные числа — числа вида $a + ib$, где $a, b \in \R$, а $i$ — мнимая единица.

Ещё некоторые обозначения:

• $\Z^+$ и $\Z^-$ — так обозначают множества положительных и отрицательных целых чисел
• Соответствующим образом можно задать множества $\Bbb{Q}^+, \ \Bbb{Q}^-, \ \R^+, \ \R^-$ — множества положительных и отрицательных рациональных и действительных чисел

Со множествами можно делать действия, очень похожие на те, что мы делаем с числами. Самые основные это: объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность, множество всех подмножеств (булеан).

Объединение множеств — это такое множество, в котором есть сразу все элементы из всех множеств. Объединение двух множеств обозначается как $A \cup B$.

Например:

• $A = \set{1,2,3,4}$
• $B = \set{1,a,b,c}$
• $A \cup B = \set{1,2,3,4,a,b,c}$

Обычно словом маркером для объединения выступает “или”. Например:

• Я хочу кота или собаку (значит подойдет или кот, или собака, или котопёс)
• Выберите или стоячее место или сидячее
• У него были или рыжие или темные волосы
• Пассажиры с детьми или без багажа

Пересечение множеств — это такое множество, в котором находятся элементы, которые есть одновременно и в одном и в другом множестве. Пересечение двух множеств обозначается как $A \cap B$.

Например:

• $A = \set{1,2,3,4}$
• $B = \set{1,2,b,c}$
• $A \cap B = \set{1,2}$

Обычно словом маркером пересечения выступает “и”. Например:

• Мой кот черный и быстрый
• Это должен быть большой и светлый дом
• И рыбку съел и косточкой не подавился
• Она была и умной, и красивой, и доброй

Если множества $A$ и $B$ не пересекаются, то такие множества называют взаимноисключающими или непересекающимися. В таком случае можно написать, что $A \cap B = \emptyset$.

Разность множеств $A$ и $B$ — это множество, которое обозначается как $A \setminus B$ и в котором содержатся все элементы множества $A$, которых нет в $B$.

Например:

• $A = \set{1,2,3,4}$
• $B = \set{1,2,b,c}$
• $A \setminus B = \set{3,4}$

Дополнение ко множеству — это множество, в котором находятся все элементы, которых нет в изначальном множестве. Дополнение ко множеству $A$ обозначается как $A'$, или $\overline{A}$, или ещё как $A^c$.

Важно, чтобы было так называемое универсальное множество, в котором находится множество $A$. Обычно универсальное множество обозначают буквами $\xi, \Omega$ или $U$. Можно сказать, что $A' = U \setminus A$, то есть что дополнение к $A$ — это разность универсального множества и множества $A$.

Аналогом дополнения является логическая операция отрицания. Когда мы говорим “не белый кот”, то имеется ввиду дополнение к белым котам.

Например:

• $\xi = \set{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}$
• $A = \set{1,2,3,4}$
• $A' = \set{5,6,7,8,9,0}$

Симметрическая разность двух множеств $A$ и $B$ обозначается как $A \Delta B$ и означает множество элементов, которые есть или в $A$ или в $B$, но не в обоих одновременно.

Симметрическую разность можно записать через другие операции:
$$ A \Delta B = (A \setminus B)\cup(B \setminus A) $$

Множеством всех подмножеств, по другому булеан, называют, как это ни странно, множество, состоящее из всех подмножеств данного множества. Множество всех подмножеств множества $A$ обычно обозначают как $2^A$ или $\Rho(A)$.

Легче объяснить на примере:

• Множество $A = \set{1,2,3}$
• Его подмножества: $\emptyset, \set{1}, \set{2}, \set{3}, \set{1,2}, \set{1,3}, \set{2,3}, \set{1,2,3}$.
• Множество всех подмножеств $2^A = \set{\emptyset, \set{1}, \set{2}, \set{3}, \set{1,2}, \set{1,3}, \set{2,3}, \set{1,2,3}}$.

Интересно, что обозначение $2^A$ выбрано не случайно. Можно заметить, что количество подмножеств соответствует числу $2^{n(A)}$, где $n(A)$ — количество элементов в множестве $A$.

B.1. Если $A = \set{d,r,f,t,g}$ и $B = \set{d,f,h,j,k}$, то найдите

a. $A \cup B$
b. $A \cap B$
c. $A \setminus B$ и $B \setminus A$
d. $A \Delta B$

B.2. Если универсальное множество $U = \set{1,2,3,...,10}$, $A = \set{1,3,5,7,9}$ и $B = \set{\text{простые числа до 10}}$, то найдите:

a. $A \cup B$
b. $A \cap B$
c. $A \setminus B$ и $B \setminus A$
d. $A \Delta B$
f. $A'$ и $B'$

B.3. Множество $R = \set{i, j, k}$. Выпишите все подмножества множества $R$.

B.4. Переведите с человеческого на математический язык:

a. Множество $A$ является подмножеством множества $B$
b. Множество $\set{100,200,300}$ является подмножеством множества натуральных чисел
c. Число $x$ принадлежит множеству действительных чисел
d. Пересечение множества четных чисел и множества простых чисел состоит из одного элемента — $2$
e. Множество $I$ иррациональных чисел является дополнением к множеству рациональных чисел

B.5. Переведите с математического языка на человеческий следующие высказывания:

a. $A \cup C = \set{1,2,3}$
b. $A \cap B$
c. $Y = \R \setminus \set{1,2}$
d. $D' \cap Q'$
e. $l \notin \Bbb{Q}'$

B.6. Определите, являются ли следующие множества конечными или бесконечными:

a. $\set{\text{делители числа 12}}$
b. $\set{\text{числа, кратные 10}}$
c. $\set{\text{полные квадраты}}$

B.7. Для каждого множества перечислите элементы и найдите их количество:

a. $\set{\text{делители числа 88}}$
b. $\set{\text{простые числа, меньшие 30}}$
c. $\set{\text{буквы слова "синхрофазотрон"}}$
d. $\set{\text{дни недели}}$
e. $\set{\text{полные кубы между 1 и 100}}$

B.8. Известно, что:

$$ A = \{\text{простые между 20 и 42}\},\\ B = \{\text{чётные между 20 и 42}\}, \\ C = \{\text{кратные 3 между 22 и 34}\}, \\ D = \{\text{составные между 15 и 50}\}. $$

a. Перечислите элементы каждого множества.
b. Найдите $n(A), \ n(B), \ n(C), \ n(D)$.
c. Какие из перечисленных множеств являются:
i. подмножествами $A$?
ii. строгими подмножествами $D$?
d. Определите верны или ложны следующие утверждения:
i. $27 \in C$
ii. $31 \notin A$
iii. $35 \in D$

B.9. Заполните таблицу:

Ранее мы немного поговорили о диаграммах Венна и Эйлера, теперь обсудим более подробно.

Диаграммы Венна и Эйлера используют для визуализации множеств. По сути эти диаграммы — это просто разные способы расположения нескольких кругов на плоскости (в ограниченном пространстве).

Диаграмма Венна — это схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность) нескольких подмножеств универсального множества.

Пример диаграммы Венна для двух множеств:

Для трёх множеств будет выглядеть поприкольнее:

В областях, которые получаются в результате пересечения кругов могут находиться как сами элементы этих множеств (примеры выше), так и числа, обозначающие количество элементов в этих областях:

1. $U = \set{1,2,3,4,5,6,7,8}, \ A = \set{2,5,6}, \ \text{и} \ B=\set{1,5,7,8}$

2. $U = \set{2,4,6,8,10,14,15,16}, \ A = \set{2,6,8,16}, \ \text{и} \ B=\set{4,10,14}$

3. $U = \set{x \in \Z \ | \ 1 \leqslant x \leqslant 10}, \ A = \set{\text{четные числа} \leqslant 7}, \ \text{и} \ B=\set{\text{простые числа} \leqslant 10}$

4. $U = \set{\text{параллелограммы}}, \ A = \set{\text{прямоугольники}}, \ B = \set{\text{квадраты}}$

В классе 30 учеников, из них:

• 15 учеников посещают шахматный кружок (множество $A$);
• 10 учеников посещают кружок рисования (множество $B$);
• 6 учеников посещают оба кружка.

Изобразим эту информацию на диаграмме Венна.

Рисуем универсальное множество для всех учеников класса и два круга для множества шахматного кружка и кружка рисования, то есть для множеств $A$ и $B$.

Теперь можно довольно легко посчитать количество учеников в получившихся областях:

• Количество учеников, посещающих оба кружка дано — это 6;
• Количество учеников, посещающих только шахматный кружок: $15 - 6 = 9$;
• Количество учеников, посещающих только кружок рисования: $10 - 6 = 4$;
• Количество учеников, не посещающих ничего: $30 - 9 - 4 - 6 = 11$.

Итоговая диаграмма выглядит так:

Левый круг отвечает за котов, правый за собак.

Отмечайте области и изучайте, как они формулируются на человеческом языке.

Попробуйте:

C.1. В группе 40 человек: 22 любят математику, 17 любят физику, 6 любят оба предмета.

Изобразите соответствующую диаграмму Венна и найдите число человек, которые любят или математику или физику (или оба предмета).

C.2. В зоопарке есть 50 животных: 24 травоядных, 18 хищников и 10 всеядных.

Изобразите диаграмму Венна и найдите число животных, которые питаются только одним типом пищи.

Из 50 студентов университета:

• 20 изучают физику;
• 25 изучают химию;
• 15 изучают биологию;
• 5 изучают и физику, и химию;
• 4 изучают и физику, и биологию;
• 7 изучают и химию, и биологию;
• 2 изучают все три предмета.

Построим диаграмму Венна учитывая все вышеперечисленные данные.

Рисуем базовую конструкцию из трёх кругов (физика, химия, биология) в прямоугольнике (все студенты) и отметим количество студентов в соответствующих областях::

Остается лишь посчитать некоторые области. Легче всего двигаться из центра, то есть из пересечения всех областей:

• Количество студентов, изучающих физику и химию, но не биологию: $5 - 2 = 3$
• Количество студентов, изучающих физику и биологию, но не химию: $4 - 2 = 2$
• Количество студентов, изучающих химию и биологию, но не физику: $7 - 2 = 5$

Далее остается найти крайние области:

• Количество студентов, изучающих только физику: $20 - 3 - 2 - 2 = 13$
• Количество студентов, изучающих только химию: $25 - 3 - 2 - 5 = 15$
• Количество студентов, изучающих только биологию: $15 - 5 - 2 - 2 = 6$
• Количество студентов, изучающих ничего из перечисленного: $50 - 13 - 15 - 6 - 3 - 2 - 5 - 2 = 4$

Диаграмма Венна готова!

C.3. В магазине продается 60 игрушек: 25 мягких, 30 пластиковых и 12 деревянных.
Из них 7 мягких и пластиковых, 4 пластиковых и деревянных, 3 мягких и деревянных и 1 игрушка, которая сочетает все три материала.

Изобразите диаграмму Венна и найдите количество игрушек, сделанных только из одного материала.

C.4. В библиотеке 100 книг: 40 на русском языке, 30 на английском, 20 на французском.
Из них 5 книг на русском и английском, 3 книги на английском и французском, 2 книги на русском и французском и 1 на всех трёх языках одновременно.

Изобразите диаграмму Венна и найдите количество книг, написанных только на одном языке.

Круги Эйлера (диаграммы Эйлера) очень похожи на диаграммы Венна, их часто путают. Круги Эйлера в отличие от диаграмм Венна изображают не все комбинации из 2 (и более) свойств, а лишь некоторые. Ниже пример диаграмм для неких 3 множеств:

То есть какие-то области диаграммы Венна могут пустовать, но она всегда будет показывать всевозможные пересечения нескольких множеств. Диаграммы Венна же всегда рисуются одинаково. Для двух и трёх множеств можете рисовать эти диаграммы Венна, даже не задумываясь:

Ниже представлены 22 из 256 различных диаграмм Эйлера и соответствующие им диаграммы Венна, чтобы ещё раз подчеркнуть их связь и различия:

Чтобы правильно найти результат нескольких действий с множествами нужно сделать все действия последовательно. Шаг за шагом, как при работе с численными выражениями.

• Найти $(A' \cup B) \cap C$ можно в следующем порядке:

1. Находим $A'$
2. Отмечаем $A' \cup B$
3. Отмечаем $C$
4. Ищем пересечение получившихся областей

C.5. Изобразите в виде диаграммы Венна следующие множества:

a. $A \cap B \cap C$
b. $A \cup B \cup C$
c. $A' \cap B'$
d. $(S \setminus P) \cap L'$

C.6. Запишите формулы закрашенных областей:

C.7. Из множества всех котов $U$ выделили множество белых котов $W$, множество пушистых котов $P$ и множество котов, которым ещё нет $5$ лет $Y$.

Закрасьте следующие области на диаграмме Венна и запишите их формулы:

a. Одновременно белые, пушистые и молодые коты
b. Или белые или пушистые коты
c. Не белые, но молодые коты
d. Не белые и не пушистые коты
e. Не белые, не пушистые и не молодые коты
f. Молодые и пушистые коты. но не белые

C.8. Для данных диаграмм Венна найдите количество элементов в следующих областях:

a. $A$
b. $A \cap B$
c. $A \cup B$
d. $B'$
e. $A, \ \text{но не } B$
f. $A' \cup B'$
g. $(A \cap B)'$
h. $A' \cap B$

C.9. Используя диаграмму Венна покажите, что:

a. $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
b. $n(A \cap B') = n(A) - n(A \cap B)$

C.10. Найдите значение $x$ для каждой из диаграмм Венна:

C.11. У Павла есть 42 морские свинки. Пятнадцать из них — длинношерстные, восемнадцать — коричневые. Семь свинок одновременно и коричневые, и длинношерстные.

a. Изобразите эту информацию на диаграмме Венна.

b. Найдите число свинок, которые:

i. не имеют длинной шерсти;

ii. имеют длинную шерсть и не являются коричневыми;

iii. не являются ни длинношерстными, ни коричневыми.

C.12. В группе из 393 студентов:

212 изучают точные науки, 206 — гуманитарные и 215 — изучают искусство.

168 изучают и точные науки, и гуманитарные;
49 — и гуманитарные науки, и искусство;
37 — и искусство, и точные науки;

и только 12 студентов изучают все три направления.

a. Изобразите эту информацию на диаграмме Венна.

b. Сколько студентов:

i. изучают только точные науки;

ii. изучают точные науки или гуманитарные науки;

iii. не изучают ни точные науки, ни гуманитарные, ни искусство (что с ними?);

iv. изучают точные науки, но не изучают искусство?

U.1. Задайте несколько различных множеств, содержащих:

a. 5 объектов, находящихся в вашем поле зрения в данный момент
b. 10 первых простых чисел

U.2. Переведите с математического языка на человеческий:

a. $a \in A$
b. $b \ni B$
c. $0 \notin \N$
d. $Y = \set{-10,-9,...,10}$
e. $V = \set{v | \ v \text{ является нечетным числом}}$
f. $R = \set{\text{экспоненциальные функции}}$

U.3. Переведите с человеческого языка на математический:

a. Число $33$ принадлежит множеству $T$
b. Множество $\xi$ содержит элемент $e$
c. Множество $\N$ не содержит число $-9$
d. Множество $R$ является множеством, содержащим элементы $r$, такие, что $r \neq \frac{1}{s}$, где $s$ является элементом множества $\N$
e. Число $\sqrt{3}$ содержится во множестве, состоящем из элементов $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11}$.

U.4. Визуализируйте множества любым удобным образом:

a. $A = \set{1,2,...,100}$, $B = \set{\text{четные числа от 1 до 100 включительно}}$
b. $G = \set{\text{буквы греческого алфавита}}$, $K = \set{\text{буквы русского алфавита}}$
с. $X = \set{-1,-2,-3,...,-15}$, $Y = \set{\text{числа от -20 до 10, делящиеся на 3}}$

U.5. Если $A = \set{2,3,5,8,13,21,34,55}$ и $B = \set{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}$, то найдите

a. $A \cup B$
b. $A \cap B$
c. $A \setminus B$ и $B \setminus A$
d. $A \Delta B$

U.6. Если универсальное множество $U = \set{1,2,3,...,20}$, $A = \set{1,3,6,9,10,17,19}$ и $B = \set{\text{простые числа до 20}}$, то найдите:

a. $A \cup B$
b. $A \cap B$
c. $A \setminus B$ и $B \setminus A$
d. $A \Delta B$
f. $A'$ и $B'$

U.7. Множество $P = \set{0,1,2,3}$. Выпишите все элементы множества $2^P$.

U.8. Дано множество из 4х котов, которых зовут Персик, Киса, Дракула и Принцесса. Выпишите все трёхэлементные подмножества данного множества.

U.9. Переведите с человеческого на математический язык:

a. Множество $K$ является подмножеством множества $U$
b. Множество $\set{43,44,53,55}$ является подмножеством множества целых чисел
c. Число $y$ принадлежит множеству рациональных чисел
d. Пересечение множества нечетных чисел и множества чисел $\set{1,2,3,10,12,20,24,32}$ состоит из двух элементов: $1$ и $3$
e. Множество $Bbb{Q}$ рациональных чисел является дополнением к множеству иррациональных чисел $I$
f. Элемент $k$ принадлежит пустому множеству

U.10. Переведите с математического языка на человеческий следующие высказывания:

a. $A \cup C = B$
b. $A \cup (B \cap C)$
c. $X = \N \setminus \set{2,3,5,7}$
d. $2 \in A \cup \set{1}$
e. $y \notin \R \cup \set{i}$
f. $x \in \emptyset$

U.11. Найдите $A\cap B$ и $A\cup B$ для следующих пар множеств:

a. $A=\{6,7,8,10,12\},\;B=\{5,8,10,13,9\}$
b. $A=\{1,2,3,4\},\;B=\{6,7,8,9\}$
c. $A=\{1,4,7,9\},\;B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
d. $A=\{0,10,15,133,144\},\;B=\{10,45,54,87,118,130\}$

U.12. Установите, верны ли или ложны следующие утверждения:

a. Если $R$ и $S$ — два непустых множества и $R\cap S=\varnothing$, то $R$ и $S$ дизъюнктны (не пересекаются)
b. Для любых множеств $A$ и $B$ выполняется $n(A\cap B)\le n(A)$ и $n(A\cap B)\le n(B)$
c. Если $A\cap B = A\cup B$, то $A = B$

U.13. Запишите на языке множеств и изобразите на числовой прямой следующие множества:

a. Действительные числа между $10 $ и $22$
b. Целые числа между $-29$ и $27$, включая $-29$
c. Натуральные числа, большие $15$

U.14. Пусть множество $A$ — это множество букв слова “ЧИЛЛОМАТ”, а множество $B$ — множество букв слова “КОММУНИЗМ”.

a. Выпишите элементы множеств $A$ и $B$
b. Найдите количество элементов в $A$ и $B$
c. Найдите пересечение $A \cap B$
d. Определите, верны ли следующие утверждения:
​ i. $\text{К} \in A$
​ ii. $\text{Л} \notin A$
​ iii. $n(A \cup B) = n(a) + n(B)$

U.15. Заполните таблицу (тут принадлежность чисел разным множествам)

U.16. Определите, верны ли следующие утверждения:

a. $-7 \in \mathbb{Z}^+$
b. $\tfrac{2}{3}\notin \mathbb{Z}$
c. $-\sqrt{4}\in \mathbb{Z}$
d. $\sqrt{3}\in \mathbb{Q}$
e. $\tfrac{7}{9}\in \mathbb{Q}$
f. $0.201\in \mathbb{Z}$
g. $\tfrac{7}{0.31}\in \mathbb{Q}$
h. $\sqrt{\lvert -1\rvert}\in \mathbb{R}$

i. $\mathbb{Z}^+ \subseteq \mathbb{N}$
j. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
k. $\mathbb{N} = \mathbb{Z}^+$
l. $\mathbb{Z}^- \subseteq \mathbb{Z}$
m. $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$
n. $\{0\} \subseteq \mathbb{Z}$
o. $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$
p. $\mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^- = \mathbb{Z}$

U.17. Изобразите в виде диаграммы Венна следующие множества:

a. $(A \cup B) \cap C'$
b. $(A \cup B \cup C)'$
c. $(A \cup B)'$
d. $(R \setminus S)' \cup P$

U.18. Запишите формулы закрашенных областей:

U.19. На мастер-класс по лепке из глины пришло 40 человек. Из них 15 слепили чашку, 20 слепили тарелку, 7 человек слепили вазу. Часть людей могла слепить несколько изделий или не слепить ничего. Тех, кто слепили и чашку и тарелку — 5 человек, тех, кто слепили тарелку и вазу — 4 человека, а тех, кто слепили вазу и чашку — 3 человека. Также известно, что количество тех людей, кто слепили сразу три изделия — 2 человека.

a. Изобразите данную информацию в виде диаграммы Венна и найдите все области.
b. Закрасьте на диаграмме множество тех людей, кто слепили чашку или тарелку
c. Закрасьте на диаграмме множество тех людей, кто не слепили ничего
d. Закрасьте область с теми людьми, кто слепили статуэтку

U.20. На доске нарисованы два круга, внутри которых отмечено какое-то количество точек. Внутри первого — 200 отмеченных точек, внутри второго — 270 точек. Внутри обоих кругов одновременно находится ровно 50 точек. Сколько всего точек на доске?

U.21. (problems.ru, 103973 ) В летнем лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

U.22. В группе из 35 человек

• 13 занимаются танцами
• 21 занимаются музыкой
• 12 занимаются музыкой но не танцами

Изобразите эту информацию с помощью Диаграммы Венна и найдите вероятность, что случайный человек из этой группы будет заниматься одновременно танцами и музыкой.

U.23. Изобразите диаграмму Венна для следующих множеств:

• $\xi = \{1,2,...,19,20\}$
• $A = \{\text{нечетные числа}\}$
• $B = \{\text{простые числа}\}$

U.24. Среди 300 студентов, пришедших на экзамен, все что-то забыли дома. 114 забыли взять ручку, 239 забыли взять линейку. Сколько студентов не взяли ни ручку, ни линейку?

U.25. На конференции 89 делегатов говорят на разных языках.
38 говорят на английском, 25 — на китайском, 36 — на французском.
11 говорят на английском и китайском языках;
10 говорят на китайском и французском;
27 говорят на английском и французском;
7 говорят на всех трёх языках.

Сколько делегатов:
a. говорят только на китайском;
b. не говорят ни на одном из этих трёх языков;
c. не говорят ни на английском, ни французском?

U.26. В школе обучаются 564 ученика. В течение первого семестра 229 из них отсутствовали как минимум один день из-за болезни, а 111 учеников пропустили занятия по семейным обстоятельствам (отпуск). 296 учеников посещали школу каждый день первого семестра.
a. Изобразите эту информацию на диаграмме Венна.
b. Сколько учеников:
i. пропустили школу и по болезни, и из-за отпуска;
ii. отсутствовали из-за отпуска, но не болели;
iii. отсутствовали в первом семестре по какой-либо причине (то есть общее число пропусков).

U.27. Главные блюда в ресторане содержат либо рис, либо лук (либо и то, и другое). Из 23 вариантов блюд в 17 есть лук, а в 14 — рис. Сколько блюд содержат и рис, и лук?

U.28. 38 учеников ответили, какими жизненными навыками они обладают. 15 умеют плавать, 12 — водить автомобиль, 23 — готовить. 9 умеют готовить и плавать, 5 — плавать и водить, 6 — водить и готовить. Есть 1 ученик, который умеет всё три навыка одновременно.
a. Сколько учеников умеют **только** готовить?
b. Сколько учеников **не** обладают ни одним из этих навыков?
c. Сколько учеников обладают **ровно двумя** из этих навыков?

U.29. Сопоставьте друг другу диаграммы Венна и диаграммы Эйлера :

U.30. (problems.ru 88234) В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором – синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем – лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась? (В каждом пенале лежит ровно три предмета: ручка, карандаш и ластик.)

U.31. Среди музыкантов каждый шестой — философ, а среди философов каждый десятый — музыкант. Кого больше: философов или музыкантов?

U.32. Биолог считал колонии бактерий в чашке Петри. Он обвел 4 области, как изображено на рисунке, и внутри каждой области насчитал 5 разных колоний бактерий. Может ли быть так, что биолог ни разу не ошибся?

U.33. Сколько существует целых чисел от 1 до 1400, которые не делятся ни на 2, ни на 5, но делятся на 7?

U.34. В буфете театра продаются напитки двух видов: кофе и вода. Во время антракта 25 человек успели купить напитки. При этом 15 из них купили воду, а 17 — кофе. Сколько человек купили и воду и кофе?

U.35. (ММО, 2006, 6.1, окружной этап) В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?

U.36. На духовом отделении музыкальной школы учатся 29 студентов.
11 студентов умеют играть на флейте, 15 — на кларнете и 12 — на саксофоне.
4 студента играют и на флейте, и на саксофоне;
4 — и на флейте, и на кларнете;
6 — и на кларнете, и на саксофоне;
3 студента не играют ни на одном из трёх инструментов.

a. Изобразите эту информацию на диаграмме Венна.
b. Сколько студентов в этой секции:
i. умеют играть на всех трёх инструментах;
ii. играют только на саксофоне;
iii. играют на саксофоне и кларнете, но не на флейте;
iv. играют ровно на одном из инструментов (флейта, кларнет или саксофон)?

U.37. В некотором регионе большинство ферм занимается и скотоводством, и выращиванием сельскохозяйственных культур. Опрос 21 фермы показал, что:

• 15 ферм выращивают сельскохозяйственные культуры,
• 9 имеют крупный рогатый скот,
• 11 имеют овец,
• 7 имеют одновременно скот и сельскохозяйственные культуры,
• 4 — овец и скот,
• 8 — овец и сельскохозяйственные культуры,
• - 2 фермы не занимаются ни животноводством, ни выращиванием сельскохозяйственных культур.

a. Изобразите эти данные на диаграмме Венна.
b. Сколько ферм имеют:
i. только культуры;
ii. только животноводство (без сельскохозяйственных культур);
iii. ровно одну категорию животноводства (либо только скот, либо только овец) и выращивают сельскохозяйственные культуры?

U.38. Индекс человеческого развития (HDI) — это интегративный показатель, включающий ожидаемую продолжительность жизни, образование и показатель ВНД (Валовой национальный доход) на душу населения, с помощью которого страны ранжируются по уровню развития человека.

Пусть $L$ — множество стран с ожидаемой продолжительностью жизни более 75 лет,
$S$ — множество стран, где среднее число лет обучения превышает 10,
$I $— множество стран, где ВНД на душу населения превышает $18 000$ USD.

В 2023 году среди 100 стран с наивысшим HDI:

• 64 входили в L,
• 77 входили в S,
• 75 входили в I,
• 55 входили одновременно в L и I,
• 52 входили одновременно в L и S,
• 62 входили одновременно в S и I,
• 48 входили одновременно во все три множества L, S и I.

a. Как можно изобразить эту информацию на диаграмме Венна?
b. Сколько стран из этих 100 не входят ни в одно из множеств L, S или I?
c. Сколько стран входят в:
i. только в S;
ii. в L или в I, но не в S;
iii. одновременно в S и I, но не в L?
d. Считаете ли вы, что продолжительность жизни, средние годы обучения и ВНД на душу населения как-то связаны между собой?