Теоретическая и экспериментальная вероятность
Навигация
Аннотация
В этом уроке мы изучим такое понятие как "Вероятность".
- Вы узнаете что такое вероятность с разных точек зрения: с субъективной, экспериментальной и теоретической
- Научитесь решать простые задачи на вероятности
- Расширите своё понимание вероятностей
- Узнаете, что такое ожидаемое число успехов, и научитесь его вычислять
Quiz
Ответьте на вопросы, чтобы вспомнить базу:
Умеете делить числа?
$0.2 + 6x = 1$
$\Rightarrow 6x = 0.8$
$\Rightarrow x = \frac{0.8}{6} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$
$\Rightarrow 6x = 0.8$
$\Rightarrow x = \frac{0.8}{6} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$
$34\% = 0.34 = \frac{34}{100} = \frac{17}{50}$
$0.78 = 78\%$
$70\% \text{ от } 200 = 0.70 \cdot 200 = 140$
Введение
Вероятность - это синоним слова шанс. Вероятность - это мера возможности того, что определённое событие произойдёт. Вероятность имеет три основных вида:
- субъективная,
- экспериментальная,
- теоретическая.
Субъективная вероятность
Когда мы говорим о вероятностях в повседневной жизни, мы в основном опираемся на свой субъективный опыт и общие соображения, а не на строгие вычисления. Например, когда оцениваем вероятность дождя, мы смотрим на приметы: насколько облачно, как ощущается воздух, как низко летят птицы и так далее. И на основании этого делаем вывод "скорее всего будет дождь" или "дождя скорее всего не будет".
Субъективная вероятность — это субъективная или интуитивная оценка возможности наступления события.
Такая вероятность отличается от других видов вероятности тем, что может сильно варьироваться от человека к человеку. Два разных человека, исходя из своего опыта и убеждений, могут по-разному оценивать шансы одних и тех же событий.
Пример
Порефлексируйте о том, насколько вероятны следующие события:
A. Следующим победителем чемпионата мира по футболу будет сборная Англии.
B. Люди организуют колонию на Марсе к 2040 году.
C. Завтра не будет дождя.
D. Случайно выбранная цифра в десятичной записи дроби $\frac{1}{11}$ окажется 9.
E. В период с 2030 по 2050 на Земле не будет вооружённых конфликтов между странами.
F. Стоимость 1 биткоина достигнет отметки \$1 000 000 к 2030 году.
Оцените вероятности по шкале от $0$ до $1$, где:
$0$ — невероятное событие,
$1$ — событие точно произойдёт,
$0.5$ — событие настолько же вероятно, как и невероятно (как орёл и решка).
A. Следующим победителем чемпионата мира по футболу будет сборная Англии.
B. Люди организуют колонию на Марсе к 2040 году.
C. Завтра не будет дождя.
D. Случайно выбранная цифра в десятичной записи дроби $\frac{1}{11}$ окажется 9.
E. В период с 2030 по 2050 на Земле не будет вооружённых конфликтов между странами.
F. Стоимость 1 биткоина достигнет отметки \$1 000 000 к 2030 году.
Оцените вероятности по шкале от $0$ до $1$, где:
$0$ — невероятное событие,
$1$ — событие точно произойдёт,
$0.5$ — событие настолько же вероятно, как и невероятно (как орёл и решка).
Сравните свои оценки с оценками других людей. Предложите друзьям и близким тоже оценить эти вероятности и обсудите результаты. Вы можете заметить, что ваши числа отличаются от оценок других.
Вопрос для размышления: Чьи оценки оказались ближе всего к вашим и почему?
Вопрос для размышления: Чьи оценки оказались ближе всего к вашим и почему?
Экспериментальная вероятность
Экспериментальная вероятность (ее еще называют статистической или эмпирической) определяется на основе реальных наблюдений и экспериментов.
Давайте введем необходимые понятия, чтобы понимать о чем идет речь:
Давайте введем необходимые понятия, чтобы понимать о чем идет речь:
- Эксперимент (experiment) - опыт, некоторое действие, процедура, наблюдение, которое можно повторять. Сложный эксперимент может состоять из нескольких других экспериментов.
- Попытка (trial) - единичное проведение эксперимента. Например, один бросок монеты - это одна попытка.
- Исход (outcome) - возможный результат одного эксперимента. Орел и решка - два исхода броска монеты.
- Событие (event) - конкретный исход или набор исходов, которые нас интересуют. Например, событие "выпало четное число" при броске игральной кости.
- Пространство исходов (sample space) - множество всех возможных исходов эксперимента (обозначается как $U$ или $\Omega$). При броске монеты $\{\text{орел}, \text{решка}\}$ - множество всех исходов.
Давайте разберемся с тем, что такое экспериментальная вероятность на конкретном примере.
Пример
Возьмём необычную двенадцатигранную игральную кость (додекаэдр) с гранями, пронумерованными от 1 до 12.
Проведём эксперимент: поместим этот кубик в стакан, потрясем, опрокинем и посмотрим на выпавшее число. Этот эксперимент достаточно эффективен и исключает какое-либо влияние на результат, чистая случайность, рандом.
Проведём эксперимент: поместим этот кубик в стакан, потрясем, опрокинем и посмотрим на выпавшее число. Этот эксперимент достаточно эффективен и исключает какое-либо влияние на результат, чистая случайность, рандом.
Повторим эксперимент $100$ раз, то есть у нас будет $100$ попыток, и посмотрим какие числа выпадают. В результате мы заметим, что может выпасть любое число от $1$ до $12$, то есть всего $12$ возможных исходов. Эти исходы формируют пространство исходов - множество $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
Мы также можем уточнить, что нас интересует какое-то конкретное событие, например $A$ = "выпало простое число" или $B$ = "выпало четное число". Событие $A$ состоит из чисел $\{2, 3, 5, 7, 11\}$, а событие $B$ из чисел $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$.
Если мы хотим записать вероятность этих событий математически, то мы можем сделать это так $P(\text{выпало простое число})$, $P(\text{выпало четное})$ или вот так $P(A)$, $P(B)$, где $A=\{2, 3, 5, 7, 11\}$ и $B=\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$.
Попробуйте приблизительно оценить, насколько часто будет появляться каждая грань двенадцатигранного кубика из нашего примера.
Часто в таких задачах на игральные кости, кубики, монеты, вероятности всех исходов принимаются одинаковыми. В таком случае обычно пишут, что кубик, кость, монета - симметричные или честные (fair). Однако эксперимент может показать отклонения.
Такое возможно, если кубик несбалансирован, тогда некоторые грани будут выпадать статистически чаще. Или просто так совпало, что в результате именно вашего эксперимента, в результате случайностей, даже при симметричности кубика, какие-то грани выпадают чаще других.
Попробуйте подбросить монетку 10 раз. Не обязательно количество выпавших орлов и решек разделится поровну. Скорее всего будет 5 на 5, или 4 на 6, или 6 на 4, может быть даже 3 на 7 или 2 на 8... Строго говоря может быть что угодно. Только вот при увеличении количества проведенных экспериментов вы можете наблюдать, как вероятности стремятся к своим "идеальным" значениям. Чуть позже это продемонстрируем.
Однако, как с помощью эксперимента определить насколько симметричен кубик и как оценить вероятность каждой грани?
Для этого мы должны сделать следующее:
1. Повторить эксперимент с броском кубика 100 или больше раз
2. Записать результаты в таблицу
3. Посчитать частоту каждого исхода
Относительная частота (экспериментальная вероятность) вычисляется как:
$$ P_{\text{эксп}} = \frac{k}{n}, $$
где $k$ - количество раз которое выполнилось событие $А$ при $n$ повторениях, $n$ = общее число проведенных экспериментов.
$$ P_{\text{эксп}} = \frac{k}{n}, $$
где $k$ - количество раз которое выполнилось событие $А$ при $n$ повторениях, $n$ = общее число проведенных экспериментов.
Ниже табличка с результатами 100 экспериментов:
Исход | Частота, k | Вероятность, P |
1 | 6 | 0.06 |
2 | 12 | 0.12 |
3 | 6 | 0.06 |
4 | 9 | 0.09 |
5 | 8 | 0.08 |
6 | 10 | 0.1 |
7 | 10 | 0.1 |
8 | 5 | 0.05 |
9 | 8 | 0.08 |
10 | 6 | 0.06 |
11 | 8 | 0.08 |
12 | 12 | 0.12 |
На подумать
- Чему равна сумма всех вероятностей?
- В каком диапазоне могут располагаться вероятности?
- Как сильно отличаются самая большая и самая маленькая вероятности в нашем случае?
- Попробуйте перезапустить процесс, сделайте ещё $100$ бросков. Закономерности сохраняются?
- Как думаете, как можно добиться большей точности в определении вероятностей?
Как ответил один из учеников
- В сумме получается $\approx 1$
- От $0$ до $1$ скорее всего
- Немного отличаются, на 0.06 примерно
- В сумме также $\approx 1$, вероятности все от $0$ до $1$, отличие самой маленькой вероятности от самой большой стало чуть меньше, примерно $0.2$
- Скорее всего сделать больше бросков кубика, $1000$ или лучше $100000$
На практике, если бы кубик был бы не идеальным, то есть имел бы смещенный центр масс, то какие-то из его граней имели бы сильно другие вероятности. Как с бутербродом - обычный кусок хлеба одинаково часто падает на любую сторону, а бутерброд с сыром почти всегда (у меня лично всегда) на сторону с сыром.
Интересно, кто-нибудь рассчитает эту вероятность экспериментально?
Хочется также отметить тот факт, что эксперимент может быть комбинированный, т.е. состоять из нескольких экспериментов.
Интересно, кто-нибудь рассчитает эту вероятность экспериментально?
Хочется также отметить тот факт, что эксперимент может быть комбинированный, т.е. состоять из нескольких экспериментов.
Пример
Рассмотрим эксперимент, состоящий из двух бросков монеты.
Что может выпасть в результате двух бросков?
Как проанализировать этот эксперимент?
Один бросок имеет два исхода: орел и решка.
В нашем случае два броска - это один эксперимент. Значит в результатах будут последовательности из орлов и решек:
Что может выпасть в результате двух бросков?
Как проанализировать этот эксперимент?
Один бросок имеет два исхода: орел и решка.
В нашем случае два броска - это один эксперимент. Значит в результатах будут последовательности из орлов и решек:
- Орел на первом броске, Орел на втором
- Орел на первом броске, Решка на втором
- Решка на первом броске, Орел на втором
- Решка на первом броске, Решка на втором
Исход | Обозначение |
Орёл, Орёл | ОО |
Орёл, Решка | ОР |
Решка, Орёл | РО |
Решка, Решка | РР |
Поставим 100 таких экспериментов и посмотрим что получится:
Исход | Частота, k | Вероятность, P |
ОО | 23 | 0.23 |
ОР | 25 | 0.25 |
РО | 28 | 0.28 |
РР | 24 | 0.24 |
Экспериментальная вероятность используется в том числе и для оценки численности популяций различных видов животных.
Дело в том, что мы не всегда имеем возможность выловить всех рыб из водоема, собрать всех птиц в одном месте, посчитать каждую букашку в траве. Однако есть способы как можно обойтись без этого.
Дело в том, что мы не всегда имеем возможность выловить всех рыб из водоема, собрать всех птиц в одном месте, посчитать каждую букашку в траве. Однако есть способы как можно обойтись без этого.
Пример
Орнитологи хотят оценить размер популяции ласточек на острове. Для этого они поймали $25$ ласточек и пометили их особыми метками и выпустили на волю. Спустя продолжительное время они вновь поймали $20$ ласточек и выяснили, что среди этих $20$ лишь $5$ имеют особую метку.
Найдите вероятность встретить ласточку с особой меткой и оцените размер популяции ласточек на этом острове.
Найдите вероятность встретить ласточку с особой меткой и оцените размер популяции ласточек на этом острове.
Какую информацию несет то, что орнитологи пометили $25$ ласточек особыми метками?
Это говорит нам о том, что лишь $25$ ласточек из общего числа $n$ имеют эту особую метку. То есть нам известна частота события $A$ = "ласточка с особой меткой".
Теперь, как интерпретировать то, что из $20$ вновь пойманных ласточек лишь $5$ с особой меткой?
Мы можем определить экспериментальную вероятность события $P_{\text{эксп}}(A) = \tfrac{5}{20} = 0.25$.
Также нам известно, что $P_{\text{эксп}}=\tfrac{k}{n}$, где $k$ - частота события $A$, то есть количество ласточек с особой меткой, а $n$ - общее количество ласточек, то есть искомое число.
Выходит, что $0.25 = \tfrac{25}{n} \Rightarrow n = \tfrac{25}{0.25} = 100$ ласточек.
Это говорит нам о том, что лишь $25$ ласточек из общего числа $n$ имеют эту особую метку. То есть нам известна частота события $A$ = "ласточка с особой меткой".
Теперь, как интерпретировать то, что из $20$ вновь пойманных ласточек лишь $5$ с особой меткой?
Мы можем определить экспериментальную вероятность события $P_{\text{эксп}}(A) = \tfrac{5}{20} = 0.25$.
Также нам известно, что $P_{\text{эксп}}=\tfrac{k}{n}$, где $k$ - частота события $A$, то есть количество ласточек с особой меткой, а $n$ - общее количество ласточек, то есть искомое число.
Выходит, что $0.25 = \tfrac{25}{n} \Rightarrow n = \tfrac{25}{0.25} = 100$ ласточек.
Попробуйте сами
a. Информация о вероятности встретить говорящего тунца заложена во второй фазе исследования: когда специалисты вылавливают $100$ тунцов и среди них оказывается $3$ говорящих.
То есть $P(\text{говорящий тунец}) = \frac{3}{100} = 0.03$.
b. У нас есть вероятность и число $240$, которое отвечает за частоту говорящего тунца.
Тогда: $P = \frac{k}{n}, \ P = 0.03, \ k = 240, \ n = ?$.
Имеем: $0.03 = \frac{240}{n} \Rightarrow n = \frac{240}{0.03} = 8000$ тунцов.
То есть $P(\text{говорящий тунец}) = \frac{3}{100} = 0.03$.
b. У нас есть вероятность и число $240$, которое отвечает за частоту говорящего тунца.
Тогда: $P = \frac{k}{n}, \ P = 0.03, \ k = 240, \ n = ?$.
Имеем: $0.03 = \frac{240}{n} \Rightarrow n = \frac{240}{0.03} = 8000$ тунцов.
Теоретическая вероятность
Экспериментальный подход требует проделать много работы - повторять опыты, записывать результаты, рассчитывать вероятности. И не факт, что эксперимент поставлен правильно, то есть на вероятности не влияют дополнительные факторы.
Теоретическая вероятность позволяет рассчитать вероятность события без проведения эксперимента, если мы знаем что все исходы равновероятны.
Теоретическая вероятность позволяет рассчитать вероятность события без проведения эксперимента, если мы знаем что все исходы равновероятны.
Теоретическая вероятность определяется как
$$ P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}, $$
где:
$$ P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}, $$
где:
- $n(A)$ — количество исходов, удовлетворяющих событию $A$
- $n(U)$ — общее число всех возможных исходов эксперимента.
Это определение работает только в случае, когда все исходы эксперимента равновероятны.
Другими словами нам уже незачем повторять эксперимент тысячи раз. Если мы уверены в том, что все исходы имеют одинаковые вероятности, то достаточно найти количество подходящих исходов (успехов) и разделить на общее число исходов.
Продолжим пример с двенадцатигранной костью.
Событие $A$ = "выпало простое число" включает 5 исходов $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ из 12 возможных. Если кубик честный, то теоретическая вероятность $P(A) = \frac{5}{12} \approx 0.417 \approx 41.7\%$.
Теперь сделаем $100$ бросков и посмотрим на то, как связаны экспериментальная и теоретическая вероятности события $A$ = "выпало простое число". В таблицу запишем только первые $28$ бросков.
Другими словами нам уже незачем повторять эксперимент тысячи раз. Если мы уверены в том, что все исходы имеют одинаковые вероятности, то достаточно найти количество подходящих исходов (успехов) и разделить на общее число исходов.
Продолжим пример с двенадцатигранной костью.
Событие $A$ = "выпало простое число" включает 5 исходов $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ из 12 возможных. Если кубик честный, то теоретическая вероятность $P(A) = \frac{5}{12} \approx 0.417 \approx 41.7\%$.
Теперь сделаем $100$ бросков и посмотрим на то, как связаны экспериментальная и теоретическая вероятности события $A$ = "выпало простое число". В таблицу запишем только первые $28$ бросков.
№ броска | Исход | Является простым числом? 0 - нет, 1 - да | Сколько раз случилось событие A | Накопленная вероятность события A |
1 | 4 | 0 | 0 | 0.000 |
2 | 7 | 1 | 1 | 0.500 |
3 | 10 | 0 | 1 | 0.333 |
4 | 10 | 0 | 1 | 0.250 |
5 | 7 | 1 | 2 | 0.400 |
6 | 4 | 0 | 2 | 0.333 |
7 | 8 | 0 | 2 | 0.286 |
8 | 7 | 1 | 3 | 0.375 |
9 | 3 | 1 | 4 | 0.444 |
10 | 11 | 1 | 5 | 0.500 |
11 | 8 | 0 | 5 | 0.455 |
12 | 11 | 1 | 6 | 0.500 |
13 | 6 | 0 | 6 | 0.462 |
14 | 10 | 0 | 6 | 0.429 |
15 | 7 | 1 | 7 | 0.467 |
16 | 5 | 1 | 8 | 0.500 |
17 | 9 | 0 | 8 | 0.471 |
18 | 8 | 0 | 8 | 0.444 |
19 | 5 | 1 | 9 | 0.474 |
20 | 6 | 0 | 9 | 0.450 |
21 | 1 | 0 | 9 | 0.429 |
22 | 11 | 1 | 10 | 0.455 |
23 | 8 | 0 | 10 | 0.435 |
24 | 10 | 0 | 10 | 0.417 |
25 | 4 | 0 | 10 | 0.400 |
26 | 3 | 1 | 11 | 0.423 |
27 | 8 | 0 | 11 | 0.407 |
28 | 5 | 1 | 12 | 0.429 |
С точки зрения экспериментальной вероятности мы можем заметить, что при увеличении количества повторов экспериментов вероятность события $A$ = "выпало простое число
" становится всё ближе к какому-то числу между $0.4$ и $0.43$.
Это значение в свою очередь не случайно, оно является теоретической вероятностью события $A$.
Это значение в свою очередь не случайно, оно является теоретической вероятностью события $A$.
Вы можете также сделать свою таблицу из 100 и более элементов, руководствуясь этим гайдом
- Зайдите в таблицы. Google spreadsheets например
- Первая колонка будет называться "номер эксперимента". Заполните первые два числа в ячейках A1 и A2 - 1 и 2 соответственно. Затем выделите и потяните вниз до заполнения 100 ячеек.
- Во второй колонке "исход" введите "=RANDBETWEEN(1,12)" в ячейку B1, это функция которая ставит случайное число из диапазона 1-12. Аналогично выделите и потяните вниз до заполнения всех ячеек.
- В третьей колонке "событие" введите в ячейку C1 "=IF(OR(A1 = 2, A1 = 3, A1 = 5, A1 = 7, A1 = 11), 1,0)" и таким же образом заполните все 100 ячеек в колонке. Эта функция покажет, является ли число простым и если да, то выдаст 1, а если нет, то 0.
- В четвертой колонке будем считать сколько нашлось выпало чисел в первых n экспериментах. Введите в ячейку D1 "=SUM(\$C\$1:C1)" и заполните для остальных ячеек.
- В последней колонке рассчитаем экспериментальные вероятности. Введем в ячейку E1 формулу "=D1/A1". То есть мы поделили количество успешных исходов на общее количество произведенных экспериментов на какой-то момент.
- Теперь можно построить графики. Insert -> Chart -> Line chart. Далее в настройках графика нужно выбрать диапазон данных, у нас это A1:A100, E1:E100.
Теперь давайте разберем простые примеры нахождения теоретических вероятностей.
Пример
Найдите вероятности следующих событий:
A. Выпало 7 в результате броска 8-гранной кости.
B. Выпало простое число в результате броска 6-гранной кости.
C. Выпало число делитель 3 в результате броска 20-гранной кости
D. Выпало число большее 8 в результате броска 12-гранной кости
E. Вытащили красный шарик из мешка, в котором 7 черных и 5 красных шариков
F. Случайно выбранная шахматная фигура в начале партии оказалась пешкой
A. Выпало 7 в результате броска 8-гранной кости.
B. Выпало простое число в результате броска 6-гранной кости.
C. Выпало число делитель 3 в результате броска 20-гранной кости
D. Выпало число большее 8 в результате броска 12-гранной кости
E. Вытащили красный шарик из мешка, в котором 7 черных и 5 красных шариков
F. Случайно выбранная шахматная фигура в начале партии оказалась пешкой
Решение
A. Событие "выпало 7" содержит единственный исход $\{7\}$. Так как всего $8$ граней, то всевозможных исходов $8$. Тогда $P(\text{выпало 7}) = \frac{1}{8}$.
B. Всего $6$ граней, то всевозможных исходов $8$. Событие "выпало простое число" содержит $3$ исхода - $\{2, 3, 5\}$. Тогда $P(\text{выпало простое число}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
C. $20$ граней означает $20$ возможных исходов. Событие "выпало число делитель 3" содержит следующие исходы: $\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$, всего $6$.
Тогда $P(\text{выпало число делитель 3}) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
D. Всего исходов $12$, то есть $n(U) = 12$. Событие $A$ = "выпало больше 8" = $\{9, 10, 11, 12\}$, а значит $n(A) = 4$. Тогда $P(A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
E. Шариков в мешке $7 + 5 = 12$, тогда и $n(U) = 12$. Красных $5$, то есть $n(A) = 5$. Следовательно вероятность $P(A) = \frac{5}{12}$.
F. Шахматных фигур на доске $32$, значит $n(U) = 32$. Пешек $16$, значит $n(A) = 16$. Вероятность $P(A) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
A. Событие "выпало 7" содержит единственный исход $\{7\}$. Так как всего $8$ граней, то всевозможных исходов $8$. Тогда $P(\text{выпало 7}) = \frac{1}{8}$.
B. Всего $6$ граней, то всевозможных исходов $8$. Событие "выпало простое число" содержит $3$ исхода - $\{2, 3, 5\}$. Тогда $P(\text{выпало простое число}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
C. $20$ граней означает $20$ возможных исходов. Событие "выпало число делитель 3" содержит следующие исходы: $\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$, всего $6$.
Тогда $P(\text{выпало число делитель 3}) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
D. Всего исходов $12$, то есть $n(U) = 12$. Событие $A$ = "выпало больше 8" = $\{9, 10, 11, 12\}$, а значит $n(A) = 4$. Тогда $P(A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
E. Шариков в мешке $7 + 5 = 12$, тогда и $n(U) = 12$. Красных $5$, то есть $n(A) = 5$. Следовательно вероятность $P(A) = \frac{5}{12}$.
F. Шахматных фигур на доске $32$, значит $n(U) = 32$. Пешек $16$, значит $n(A) = 16$. Вероятность $P(A) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
Пример
Рассмотрим более сложное событие - бросок 6-гранного кубика дважды. Грани кубика пронумерованы числами от 1 до 6, всё как полагается. Вопросы:
a. Как будут выглядеть исходы этого эксперимента?
b. Сколько их [исходов] будет?
c. Чему равна вероятность, что среди двух бросков будет хотя бы одна шестерка?
d. Чему равна вероятность что сумма чисел при двух бросках будет равна 7?
a. Как будут выглядеть исходы этого эксперимента?
b. Сколько их [исходов] будет?
c. Чему равна вероятность, что среди двух бросков будет хотя бы одна шестерка?
d. Чему равна вероятность что сумма чисел при двух бросках будет равна 7?
Решение
Сначала надо определиться с тем, как выглядят исходы эксперимента.
Раз бросок одного кубика - это число от 1 до 6, то результат двух бросков - это последовательность двух чисел: число выпавшее на первом броске и число выпавшее на втором броске.
Например, если на первом броске выпало число 1, а на втором 3, то итоговый результат двух бросков можно записать как 13 (не число 13, а именно последовательность 1,3).
Визуально это можно представить в виде такой таблицы:
Сначала надо определиться с тем, как выглядят исходы эксперимента.
Раз бросок одного кубика - это число от 1 до 6, то результат двух бросков - это последовательность двух чисел: число выпавшее на первом броске и число выпавшее на втором броске.
Например, если на первом броске выпало число 1, а на втором 3, то итоговый результат двух бросков можно записать как 13 (не число 13, а именно последовательность 1,3).
Визуально это можно представить в виде такой таблицы:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
2 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
3 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
4 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |
5 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 |
6 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 |
Так что даем ответ сразу на два вопроса:
a. Результат - это последовательность чисел $ab$, где $a$ - результат первого броска, $b$ -результат второго.
b. Исходов получается $6 \cdot 6 = 36$, так как существует $6$ вариантов первого числа и $6$ вариантов второго.
c. Можем посмотреть внимательно на таблицу с исходами двух бросков и увидеть, что только $11$ из них содержат хотя бы одну $6$.
Таким образом вероятность $P(\text{хотя бы одна 6})=\frac{11}{36} \approx 0.306$.
d. Сумма двух чисел равна $7$ при следующих исходах: $\{61, 52, 43, 34, 25, 16\}$, их всего 6.
Следовательно $P(\text{сумма 7})=\frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.167$.
a. Результат - это последовательность чисел $ab$, где $a$ - результат первого броска, $b$ -результат второго.
b. Исходов получается $6 \cdot 6 = 36$, так как существует $6$ вариантов первого числа и $6$ вариантов второго.
c. Можем посмотреть внимательно на таблицу с исходами двух бросков и увидеть, что только $11$ из них содержат хотя бы одну $6$.
Таким образом вероятность $P(\text{хотя бы одна 6})=\frac{11}{36} \approx 0.306$.
d. Сумма двух чисел равна $7$ при следующих исходах: $\{61, 52, 43, 34, 25, 16\}$, их всего 6.
Следовательно $P(\text{сумма 7})=\frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.167$.
Ключевые моменты
где $n(A)$ - число исходов в событии $A$, $n(U)$ - общее количество всевозможных исходов эксперимента.
- Экспериментальная вероятность:
- Теоретическая вероятность:
где $n(A)$ - число исходов в событии $A$, $n(U)$ - общее количество всевозможных исходов эксперимента.
Попробуйте сами
Из набора $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ простыми являются $2$, $3$, $5$, $7$.
$\Rightarrow P(\text{простое число})=\frac{4}{9} \approx 0.444$
$\Rightarrow P(\text{простое число})=\frac{4}{9} \approx 0.444$
Слово "СЛУЧАЙНОСТЬ" содержит 11 букв.
Буквы, встречающиеся в слове "МАТАН" и в слове "СЛУЧАЙНОСТЬ": А, Т, Н.
В слове "СЛУЧАЙНОСТЬ" они встречаются ровно по одному разу.
Тогда количество благоприятных исходов $n(A)=3$, а количество всех возможных $n(U)=11$.
Значит вероятность $P(\text{совпадающая буква})=\frac{3}{11} \approx 0.273$.
Буквы, встречающиеся в слове "МАТАН" и в слове "СЛУЧАЙНОСТЬ": А, Т, Н.
В слове "СЛУЧАЙНОСТЬ" они встречаются ровно по одному разу.
Тогда количество благоприятных исходов $n(A)=3$, а количество всех возможных $n(U)=11$.
Значит вероятность $P(\text{совпадающая буква})=\frac{3}{11} \approx 0.273$.
Всего ручек $20$, пишут $4$, не пишут $20-4 = 16$.
$\Rightarrow P(\text{не пишет})=\frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$\Rightarrow P(\text{не пишет})=\frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$.
Пароль состоит из $4$ цифр (от 0 до 9) $\Rightarrow$ всего вариантов: $10^4 = 10000$.
a.
Только один пароль из $10000$ нам подходит.
$\Rightarrow P(1234)=\frac{1}{10000}=0.0001$.
b.
Пароль делится на $2$, если последняя цифра чётная (0,2,4,6,8) – 5 вариантов на последнюю цифру, остальные цифры могут быть любыми.
Количество таких чисел - $5000$ из $10000$ (половина от всех).
$\Rightarrow P(\text{четный пароль}=\frac{5000}{10000} = 0.5)$.
c.
От $2500$ до $3000$ не включительно означает что мы рассматриваем пароли начиная с $2501$ до $2999$ включительно. Количество вариантов: $2999 - 2501 + 1 = 499$.
$\Rightarrow P = \frac{499}{10000} = 0.0499$.
d.
Это числа от 0000 до 9971, то есть 9972 вариантов.
$\Rightarrow P = \frac{9972}{10000} = 0.9972$.
e.
Подобрать пароль с первого раза означает угадать единственно верную комбинацию из $10000$. Тогда вероятность та же, что в пункте a.
$P = 0.0001$.
a.
Только один пароль из $10000$ нам подходит.
$\Rightarrow P(1234)=\frac{1}{10000}=0.0001$.
b.
Пароль делится на $2$, если последняя цифра чётная (0,2,4,6,8) – 5 вариантов на последнюю цифру, остальные цифры могут быть любыми.
Количество таких чисел - $5000$ из $10000$ (половина от всех).
$\Rightarrow P(\text{четный пароль}=\frac{5000}{10000} = 0.5)$.
c.
От $2500$ до $3000$ не включительно означает что мы рассматриваем пароли начиная с $2501$ до $2999$ включительно. Количество вариантов: $2999 - 2501 + 1 = 499$.
$\Rightarrow P = \frac{499}{10000} = 0.0499$.
d.
Это числа от 0000 до 9971, то есть 9972 вариантов.
$\Rightarrow P = \frac{9972}{10000} = 0.9972$.
e.
Подобрать пароль с первого раза означает угадать единственно верную комбинацию из $10000$. Тогда вероятность та же, что в пункте a.
$P = 0.0001$.
a.
Тузов 4 $\Rightarrow P = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0.0769$.
b.
Красных карт (бубны и червы) $26$.
$\Rightarrow P = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} = 0.5$.
c.
Числовых карт (от 2 до 10) – по $9$ на каждую масть, итого $9\cdot4 = 36$.
$\Rightarrow P = \frac{36}{52} = \frac{9}{13} \approx 0.692$.
d.
Пиковая дама ровно одна $\Rightarrow P = \frac{1}{52} \approx 0.0192$.
e.
Семёрок - $4$ карты, дам - $4$ карты, пересечений нет.
$\Rightarrow P = \frac{8}{52} = \frac{2}{13} \approx 0.154$.
Тузов 4 $\Rightarrow P = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0.0769$.
b.
Красных карт (бубны и червы) $26$.
$\Rightarrow P = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} = 0.5$.
c.
Числовых карт (от 2 до 10) – по $9$ на каждую масть, итого $9\cdot4 = 36$.
$\Rightarrow P = \frac{36}{52} = \frac{9}{13} \approx 0.692$.
d.
Пиковая дама ровно одна $\Rightarrow P = \frac{1}{52} \approx 0.0192$.
e.
Семёрок - $4$ карты, дам - $4$ карты, пересечений нет.
$\Rightarrow P = \frac{8}{52} = \frac{2}{13} \approx 0.154$.
Всего кубиков $7+10+8=25 \Rightarrow P(\text{синий})=\frac{7}{25} = 0.28$.
В невисокосном году 365 дней, а в апреле 30 дней.
$\Rightarrow P = \frac{30}{365} = \frac{6}{73} \approx 0.0822$.
$\Rightarrow P = \frac{30}{365} = \frac{6}{73} \approx 0.0822$.
Всего $10$ столбцов и $10$ строк $\Rightarrow 10\cdot10=100$ полей.
a.
Чётные номера: $2,4,6,8,10$ $\Rightarrow$ $5$ вариантов, для каждого из $10$ столбцов. Или просто половина всех полей.
$\Rightarrow P = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} = 0.5$.
b.
Таких столбцов 3 $\Rightarrow P = \frac{3}{10} = 0.3$.
c.
Клеток в углах $4 \Rightarrow P = \frac{4}{100} = 0.04$.
d.
Столбцы с простыми номерами: $2, 3, 5, 7$.
$\Rightarrow P = \frac{4}{10} = 0.4$.
e.
Всего полей в строках f и g: $2 \cdot 10 = 20$.
Нечетных полей в каждой строке $5$.
$\Rightarrow P = \frac{5 \cdot 2}{20} = 0.5$.
a.
Чётные номера: $2,4,6,8,10$ $\Rightarrow$ $5$ вариантов, для каждого из $10$ столбцов. Или просто половина всех полей.
$\Rightarrow P = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} = 0.5$.
b.
Таких столбцов 3 $\Rightarrow P = \frac{3}{10} = 0.3$.
c.
Клеток в углах $4 \Rightarrow P = \frac{4}{100} = 0.04$.
d.
Столбцы с простыми номерами: $2, 3, 5, 7$.
$\Rightarrow P = \frac{4}{10} = 0.4$.
e.
Всего полей в строках f и g: $2 \cdot 10 = 20$.
Нечетных полей в каждой строке $5$.
$\Rightarrow P = \frac{5 \cdot 2}{20} = 0.5$.
Ожидаемое число успехов
Теперь познакомимся с понятием ожидаемого числа успехов. Эта величина показывает, сколько раз в среднем произойдет интересующее нас событие при заданном количестве повторений эксперимента.
Вернемся к нашему примеру с 12-гранной костью. Вероятность выпадения числа $7$ при одном броске равна $\frac{1}{12} \approx 0.0833$. Если вы бросите кость $12$ раз, то можно ожидать, что число $7$ выпадет примерно один раз. Если же мы бросим её $36$ раз, то можно ожидать, что число $7$ выпадет уже $36\cdot\frac{1}{12} = 3$ раза.
Вернемся к нашему примеру с 12-гранной костью. Вероятность выпадения числа $7$ при одном броске равна $\frac{1}{12} \approx 0.0833$. Если вы бросите кость $12$ раз, то можно ожидать, что число $7$ выпадет примерно один раз. Если же мы бросим её $36$ раз, то можно ожидать, что число $7$ выпадет уже $36\cdot\frac{1}{12} = 3$ раза.
Таким образом ожидаемое число успехов находится как $n \cdot P$, где $n$ - количество проведенных экспериментов, $P$ - вероятность успеха события.
Далее будем обозначать ожидаемое число успехов как $E_n$.
Далее будем обозначать ожидаемое число успехов как $E_n$.
Проще говоря, умножаем количество попыток на вероятность успеха. Получаем, сколько успехов можно ожидать в среднем. Разумеется, фактическое число успехов в конкретном опыте может отличаться, но при больших $n$ результат часто оказывается близок к $E_n$.
Что если мы бросим нашу 12-гранную кость $100$ раз, сколько из $100$ раз мы ожидаем увидеть простое число?
Мы уже делали таблицу, сделаем ещё раз:
Что если мы бросим нашу 12-гранную кость $100$ раз, сколько из $100$ раз мы ожидаем увидеть простое число?
Мы уже делали таблицу, сделаем ещё раз:
№ броска | Исход | Является простым числом? | Сколько раз выпало из n бросков | Накопленная вероятность |
1 | 8 | 0 | 0 | 0.000 |
2 | 6 | 0 | 0 | 0.000 |
3 | 7 | 1 | 1 | 0.333 |
4 | 3 | 1 | 2 | 0.500 |
5 | 3 | 1 | 3 | 0.600 |
... | ... | ... | ... | ... |
95 | 10 | 0 | 41 | 0.432 |
96 | 9 | 0 | 41 | 0.427 |
97 | 11 | 1 | 42 | 0.433 |
98 | 8 | 0 | 42 | 0.429 |
99 | 8 | 0 | 42 | 0.424 |
100 | 7 | 1 | 43 | 0.430 |
Видно, что простое число выпало $43$ раза, что приблизительно соответствует математически посчитанному ожидаемому числу успехов
$$
E_n = 100\cdot\frac{5}{12} = \frac{125}{3} = 41\frac{2}{3} \approx 41.3.
$$
$$
E_n = 100\cdot\frac{5}{12} = \frac{125}{3} = 41\frac{2}{3} \approx 41.3.
$$
Пример
Шестигранную кость бросают $250$ раз. Найдите ожидаемое количество раз, которое выпадет четное число.
Решение
Найдем вероятность события $A$ = "выпало четное число".
Всего $6$ граней, значит $6$ чисел, $n(U) = 6$. $A = \{2, 4, 6\}$, значит $n(A) = 3$.
Тогда вероятность $P(A) = \frac{3}{6} = 0.5$.
Теперь посчитаем ожидаемое количество четных чисел среди $250$ бросков.
$E_n = 250\cdot0.5 = 125$ четных чисел.
Найдем вероятность события $A$ = "выпало четное число".
Всего $6$ граней, значит $6$ чисел, $n(U) = 6$. $A = \{2, 4, 6\}$, значит $n(A) = 3$.
Тогда вероятность $P(A) = \frac{3}{6} = 0.5$.
Теперь посчитаем ожидаемое количество четных чисел среди $250$ бросков.
$E_n = 250\cdot0.5 = 125$ четных чисел.
Пример
Статистика показала, что вероятность рождения мальчика примерно $0.545$. Найдите ожидаемое число мальчиков среди $143,240$ новорожденных.
Решение
Вероятность уже дана, количество известно, так что вперед:
$E_n = 143,240\cdot0.545 = 78065.8 \approx 78066$ мальчиков.
Вероятность уже дана, количество известно, так что вперед:
$E_n = 143,240\cdot0.545 = 78065.8 \approx 78066$ мальчиков.
Пример
Консерватория имени П. И. Чайковского собрала статистику частоты посещения концертов в 2023 году.
Данные посещения представлены в таблице ниже:
Данные посещения представлены в таблице ниже:
Возраст | 1 раз | от 2 до 4 раз | от 5 до 10 раз | 11 и более раз |
18–27 | 21544 | 15824 | 9690 | 7213 |
28–40 | 32732 | 26500 | 14212 | 13545 |
41–70 | 29121 | 21023 | 16823 | 8844 |
70+ | 16542 | 11862 | 7465 | 4110 |
a. Определите вероятность, что случайно выбранный человек из статистики посетил консерваторию от 2 до 4 раз.
b. Выбирают случайного человека из статистики. Каков наиболее вероятный возраст этого человека?
c. Какова вероятность, что случайный посетитель окажется в самой молодой возрастной группе и посетит концерты консерватории от 5 до 10 раз?
d. В 2026 году консерватория ожидает, что 300,000 человек хотя бы раз посетят концерты. Найдите ожидаемое число людей, которые посетят более 11 концертов в течение 2026 года.
b. Выбирают случайного человека из статистики. Каков наиболее вероятный возраст этого человека?
c. Какова вероятность, что случайный посетитель окажется в самой молодой возрастной группе и посетит концерты консерватории от 5 до 10 раз?
d. В 2026 году консерватория ожидает, что 300,000 человек хотя бы раз посетят концерты. Найдите ожидаемое число людей, которые посетят более 11 концертов в течение 2026 года.
Решение
a. Число таких людей:
$ n(\text{2-4 раза}) = 15824+26500+21023+11862 = 75209. $
Общее число посетителей:
$ n(\text{все}) = \text{сумма по всем колонкам и столбцам} = 257050. $
Тогда:
$ P = \frac{n(\text{2-4 раза})}{n(\text{все})} = \frac{75209}{257050} \approx 0.293. $
b. Суммируем по группам:
18–27: $21544+15824+9690+7213 = 54271$
28–40: $32732+26500+14212+13545 = 86989$
41–70: $29121+21023+16823+8844 = 75811$
70+: $16542+11862+7465+4110 = 39979$
Наибольшее количество в группе 28–40 лет.
c. Самая молодая группа 18-27 лет, содержит $9690$ человек, посетивших концерты от 5 до 10 раз. Таким образом вероятность $P = \frac{9690}{257050} \approx 0.0377$.
d. Мы можем воспользоваться предположением, что распределение по возрастам и количеству посещеных концертов из года в год постоянно. Тогда вероятность того, что случайный человек посетит больше 11 концертов в 2023 году и в 2026 предполагается брать одинаковой.
$ P(\text{больше 11 концертов}) = \frac{7213+13545+8844+4110}{257050} = \frac{33712}{257050} \approx 0.131 $
Значит $E_n = 300000 \cdot \frac{33712}{257050} \approx 39345$ человек.
a. Число таких людей:
$ n(\text{2-4 раза}) = 15824+26500+21023+11862 = 75209. $
Общее число посетителей:
$ n(\text{все}) = \text{сумма по всем колонкам и столбцам} = 257050. $
Тогда:
$ P = \frac{n(\text{2-4 раза})}{n(\text{все})} = \frac{75209}{257050} \approx 0.293. $
b. Суммируем по группам:
18–27: $21544+15824+9690+7213 = 54271$
28–40: $32732+26500+14212+13545 = 86989$
41–70: $29121+21023+16823+8844 = 75811$
70+: $16542+11862+7465+4110 = 39979$
Наибольшее количество в группе 28–40 лет.
c. Самая молодая группа 18-27 лет, содержит $9690$ человек, посетивших концерты от 5 до 10 раз. Таким образом вероятность $P = \frac{9690}{257050} \approx 0.0377$.
d. Мы можем воспользоваться предположением, что распределение по возрастам и количеству посещеных концертов из года в год постоянно. Тогда вероятность того, что случайный человек посетит больше 11 концертов в 2023 году и в 2026 предполагается брать одинаковой.
$ P(\text{больше 11 концертов}) = \frac{7213+13545+8844+4110}{257050} = \frac{33712}{257050} \approx 0.131 $
Значит $E_n = 300000 \cdot \frac{33712}{257050} \approx 39345$ человек.
Попробуйте сами
Вероятность попасть в конкретный сектор "15" за один бросок равна $\frac{1}{20} = 0.05$. Для $n = 50$ бросков ожидаемое число успехов $E_n = 50 \cdot 0.05 = 2.5$. То есть в среднем 2 - 3 раза дротик попадет в сектор "15".
a.
Простые числа: $\{2, 3, 5, 7\} \Rightarrow 4$ числа.
$P(\text{простое}) = \frac{4}{8} = 0.5$.
Ожидаемое число выпадений $E_n = 654 \cdot 0.5 = 327$.
b.
Уравнение $x^2 = 4$ имеет решения $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Отрицательного значения на гранях нет, так что благоприятен только исход $2$. Вероятность $P(2) = \frac{1}{8} = 0.125$.
Ожидаемое число $E_n = 654 \cdot 0.125 = 81.75 \approx 82$.
c.
Числа, кратные $3$: $3$ и $6$, т.е. $2$ числа.
$P(\text{кратное 3}) = \frac{2}{8} = 0.25$.
Ожидаемое число $E = 654 \cdot 0.25 = 163.5 \approx 164$.
Простые числа: $\{2, 3, 5, 7\} \Rightarrow 4$ числа.
$P(\text{простое}) = \frac{4}{8} = 0.5$.
Ожидаемое число выпадений $E_n = 654 \cdot 0.5 = 327$.
b.
Уравнение $x^2 = 4$ имеет решения $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Отрицательного значения на гранях нет, так что благоприятен только исход $2$. Вероятность $P(2) = \frac{1}{8} = 0.125$.
Ожидаемое число $E_n = 654 \cdot 0.125 = 81.75 \approx 82$.
c.
Числа, кратные $3$: $3$ и $6$, т.е. $2$ числа.
$P(\text{кратное 3}) = \frac{2}{8} = 0.25$.
Ожидаемое число $E = 654 \cdot 0.25 = 163.5 \approx 164$.
a.
Всего чисел $37$, красных среди них $16$, а значит $P = \frac{16}{37} \approx 0.432$.
b.
Вероятность красного известна, значит остается умножить на число запусков.
$E_n = 360 \cdot \frac{16}{37} = \frac{5760}{37} \approx 155.7 \approx 156$ раз.
c.
Ставка как на картинке сыграет если выпадет одно из чисел: $\{10,11,13,14\}$.
$\Rightarrow P = \frac{4}{37} \approx 0.108$.
d.
$E_n = 100 \cdot \frac{4}{37} = \frac{400}{37} \approx 10.8 \approx 11$ раз.
Всего чисел $37$, красных среди них $16$, а значит $P = \frac{16}{37} \approx 0.432$.
b.
Вероятность красного известна, значит остается умножить на число запусков.
$E_n = 360 \cdot \frac{16}{37} = \frac{5760}{37} \approx 155.7 \approx 156$ раз.
c.
Ставка как на картинке сыграет если выпадет одно из чисел: $\{10,11,13,14\}$.
$\Rightarrow P = \frac{4}{37} \approx 0.108$.
d.
$E_n = 100 \cdot \frac{4}{37} = \frac{400}{37} \approx 10.8 \approx 11$ раз.
a.
Экспериментальная вероятность числа 4 следующая: $P(4)=\frac{23}{100}=0.23$.
b.
По этим $100$ броскам виден сильный разброс между наиболее частым результатом - 5 выпала в $31$ случае из $100$ и наименее частым - 6 выпала в $7$ случаях из $100$.
На основании этого можно заключить, что либо нам очень повезло, что мы получили такое неравномерное распределение вероятностей, либо что кубик действительно не симметричный.
Если мы сделаем ещё больше бросков и распределение будет выглядеть таким же образом, то можно будет с ещё большей уверенностью заключить, что кубик не симметричный.
c.
Вероятность двойки следующая: $P(2)=\frac{23}{100}=0.23$.
Тогда $E_n = 2000 \cdot \frac{23}{100} = 20 \cdot 23 = 460$ раз.
Экспериментальная вероятность числа 4 следующая: $P(4)=\frac{23}{100}=0.23$.
b.
По этим $100$ броскам виден сильный разброс между наиболее частым результатом - 5 выпала в $31$ случае из $100$ и наименее частым - 6 выпала в $7$ случаях из $100$.
На основании этого можно заключить, что либо нам очень повезло, что мы получили такое неравномерное распределение вероятностей, либо что кубик действительно не симметричный.
Если мы сделаем ещё больше бросков и распределение будет выглядеть таким же образом, то можно будет с ещё большей уверенностью заключить, что кубик не симметричный.
c.
Вероятность двойки следующая: $P(2)=\frac{23}{100}=0.23$.
Тогда $E_n = 2000 \cdot \frac{23}{100} = 20 \cdot 23 = 460$ раз.
a.
Всего птиц: $123 + 164 + 96 + 85 = 468$.
Дятлов среди них $85$.
Тогда вероятность $P(\text{дятел})=\frac{85}{468} \approx 0.182$.
b.
Если популяции останутся в той же пропорции (что наиболее вероятно), то процент попугаев останется прежним.
Сейчас вероятность встретить попугая $P(\text{попугай}) = \frac{123}{468} \approx 0.263$.
Среди 1424 птиц их будет $E_n = 1424 \cdot \frac{123}{468} = \frac{14596}{39} \approx 374$ попугаев.
c.
$P(\text{тукан}) = \frac{164}{468} = \frac{41}{117} \approx 0.350$.
Тогда $E_n = 100 \cdot \frac{41}{117} \approx 35$ туканов.
Всего птиц: $123 + 164 + 96 + 85 = 468$.
Дятлов среди них $85$.
Тогда вероятность $P(\text{дятел})=\frac{85}{468} \approx 0.182$.
b.
Если популяции останутся в той же пропорции (что наиболее вероятно), то процент попугаев останется прежним.
Сейчас вероятность встретить попугая $P(\text{попугай}) = \frac{123}{468} \approx 0.263$.
Среди 1424 птиц их будет $E_n = 1424 \cdot \frac{123}{468} = \frac{14596}{39} \approx 374$ попугаев.
c.
$P(\text{тукан}) = \frac{164}{468} = \frac{41}{117} \approx 0.350$.
Тогда $E_n = 100 \cdot \frac{41}{117} \approx 35$ туканов.
Ключевые идеи
Субъективная вероятность — это субъективная или интуитивная оценка возможности наступления события.
Эксперимент (experiment) - опыт, некоторое действие, процедура, наблюдение, которое можно повторять.
Попытка (trial) - единичное проведение эксперимента.
Исход (outcome) - возможный результат одного эксперимента.
Событие (event) - конкретный исход или набор исходов, которые нас интересуют.
Пространство исходов (sample space) - множество всех возможных исходов эксперимента (обозначается как $U$ или $\Omega$).
Относительная частота (экспериментальная вероятность) вычисляется по формуле:
$$
P = \frac{\text{частота события }A}{\text{общее число экспериментов}}
$$
Вероятность может принимать значения от $0$ до $1$, где $0$ - невероятное событие, $1$ - гарантированное (достоверное) событие.
Сумма вероятностей всех исходов эксперимента всегда равна $1$.
Больше повторений эксперимента = больше точность. Экспериментальная вероятность при увеличении числа повторений будет стремиться к теоретической вероятности.
Теоретическая вероятность определяется как
$$
P(A) = \frac{n(A)}{n(U)},
$$
где:
- $n(A)$ — количество исходов, удовлетворяющих событию $A$
- $n(U)$ — общее число всех возможных исходов эксперимента.
Ожидаемое число успехов вычисляется по формуле $E_n = n \cdot P$, где $n$ - количество проведенных экспериментов, $P$ - вероятность успеха.
Эксперимент (experiment) - опыт, некоторое действие, процедура, наблюдение, которое можно повторять.
Попытка (trial) - единичное проведение эксперимента.
Исход (outcome) - возможный результат одного эксперимента.
Событие (event) - конкретный исход или набор исходов, которые нас интересуют.
Пространство исходов (sample space) - множество всех возможных исходов эксперимента (обозначается как $U$ или $\Omega$).
Относительная частота (экспериментальная вероятность) вычисляется по формуле:
$$
P = \frac{\text{частота события }A}{\text{общее число экспериментов}}
$$
Вероятность может принимать значения от $0$ до $1$, где $0$ - невероятное событие, $1$ - гарантированное (достоверное) событие.
Сумма вероятностей всех исходов эксперимента всегда равна $1$.
Больше повторений эксперимента = больше точность. Экспериментальная вероятность при увеличении числа повторений будет стремиться к теоретической вероятности.
Теоретическая вероятность определяется как
$$
P(A) = \frac{n(A)}{n(U)},
$$
где:
- $n(A)$ — количество исходов, удовлетворяющих событию $A$
- $n(U)$ — общее число всех возможных исходов эксперимента.
Ожидаемое число успехов вычисляется по формуле $E_n = n \cdot P$, где $n$ - количество проведенных экспериментов, $P$ - вероятность успеха.
Упражнения
$n = 2000$, $k = 23$, $P = \frac{k}{n} = \frac{23}{2000} = 0.0115$.
Всего букв в тексте задачи:
$6+13+7+9+5+1+1+6+4+6 = 58$.
Среди них букв "а" $8$ штук.
Тогда вероятность $P = \frac{8}{58} = \frac{4}{29} \approx 0.138$.
$6+13+7+9+5+1+1+6+4+6 = 58$.
Среди них букв "а" $8$ штук.
Тогда вероятность $P = \frac{8}{58} = \frac{4}{29} \approx 0.138$.
a. Видно, что исходы имеют разную частоту, ощутимо отличающуюся от идеальной $25$. Это дает повод задуматься о симметричности монеты и выполнить дополнительные испытания, чтобы проследить за тем, будет ли продолжаться дисбаланс или вероятности сойдутся. Поэтому утверждать однозначно нельзя, но нужно задуматься.
b. Относительная частота выпадения орла = $\frac{29}{50} = 0.58$.
c. Экспериментальная вероятность $P_{\text{эксп}}=0.58$, теоретическая $P_{\text{теор}} = 0.5$, разница $0.58-0.5=0.08$.
b. Относительная частота выпадения орла = $\frac{29}{50} = 0.58$.
c. Экспериментальная вероятность $P_{\text{эксп}}=0.58$, теоретическая $P_{\text{теор}} = 0.5$, разница $0.58-0.5=0.08$.
Среди чисел от $1$ до $50$ простых чисел $15$ штук
То есть вероятность $P = \frac{15}{50} = 0.3$.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
21 | 22 | 23 | 24 | 24 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
То есть вероятность $P = \frac{15}{50} = 0.3$.
По таблице можно определить, что $2.3\%$ от всех автомобилей, которые наблюдал мистер Мистер оказались марки Mercedes. Тогда $P(\text{Mercedes}) = 0.023$.
Если нам известна вероятность и общее число наблюдений, то ожидаемое число автомобилей марки Mercedes будет следующим:
$E_n = 28835 \cdot 0.023 = 663.205 \approx 663$ автомобилей.
Если нам известна вероятность и общее число наблюдений, то ожидаемое число автомобилей марки Mercedes будет следующим:
$E_n = 28835 \cdot 0.023 = 663.205 \approx 663$ автомобилей.
Ответим сразу и на a. и на b.
Чтобы оценить насколько случайно она работает достаточно взглянуть на то, насколько сильно отличается экспериментально определенная частота от "идеальной" частоты (теоретической).
$n_{\text{эксп}}(\text{Зеро}) = 940$, в то время как
$n_{\text{теор}}(\text{Зеро})=\frac{1}{37} \cdot 34987 \approx 946$.
Видим совсем небольшое отличие.
Также посмотрим на Красное и Черное:
$n_{\text{эксп}}(\text{Красное}) = 17001$. (Черное имеет ту же вероятность).
$n_{\text{теор}}(\text{Красное})=\frac{18}{37} \cdot 34987 \approx 17021$.
Разница совсем небольшая, буквально доли процента.
Значит рулетка работает достаточно случайным образом.
Чтобы оценить насколько случайно она работает достаточно взглянуть на то, насколько сильно отличается экспериментально определенная частота от "идеальной" частоты (теоретической).
$n_{\text{эксп}}(\text{Зеро}) = 940$, в то время как
$n_{\text{теор}}(\text{Зеро})=\frac{1}{37} \cdot 34987 \approx 946$.
Видим совсем небольшое отличие.
Также посмотрим на Красное и Черное:
$n_{\text{эксп}}(\text{Красное}) = 17001$. (Черное имеет ту же вероятность).
$n_{\text{теор}}(\text{Красное})=\frac{18}{37} \cdot 34987 \approx 17021$.
Разница совсем небольшая, буквально доли процента.
Значит рулетка работает достаточно случайным образом.
a. Вероятность вылова рыбы с особой отметкой находится из второго условия: только $2$ рыбы из $30$ оказались с особой меткой. Значит и вероятность $P = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$.
b. Оценка числа рыб ($n$) производится на основании имеющейся вероятности ($P$) и количества рыб с отметкой ($k$).
$P = \frac{k}{n} \Rightarrow \frac{1}{15} = \frac{30}{n} \Rightarrow n = 30 \cdot 15 = 450$ рыб.
b. Оценка числа рыб ($n$) производится на основании имеющейся вероятности ($P$) и количества рыб с отметкой ($k$).
$P = \frac{k}{n} \Rightarrow \frac{1}{15} = \frac{30}{n} \Rightarrow n = 30 \cdot 15 = 450$ рыб.
Оцените свое понимание
После завершения этого урока используйте данный чек-лист, чтобы оценить, насколько вы освоили цели урока:
Я могу | Уверенно | С какой-то помощью | Не, ничего не понятно |
Объяснить субъективную вероятность | |||
Рассчитать экспериментальную вероятность | |||
Определить теоретическую вероятность | |||
Найти ожидаемое число успехов |